Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59636 / 58612
↖ ↑ ↗
← S 80.404726°
E147.590332°		 ← 101.81 m → S 80.404726°
E147.595825°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
S 80.405641°
E147.590332°		 ← 101.80 m →
10 365 m²		 S 80.405641°
E147.595825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909980773925781 y=0.894355773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909980773925781 × 216)
    floor (0.909980773925781 × 65536)
    floor (59636.5)     		tx = 59636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894355773925781 × 216)
    floor (0.894355773925781 × 65536)
    floor (58612.5)     		ty = 58612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59636 / 58612 ti = "16/59636/58612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59636/58612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59636 ÷ 216
    59636 ÷ 65536     		x = 0.90997314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58612 ÷ 216
    58612 ÷ 65536     		y = 0.89434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90997314453125 × 2 - 1) × π
    0.8199462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57593724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.7886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47776246756146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57593724} λ = 2.57593724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47776246756146))-π/2
    2×atan(0.0839308135647891)-π/2
    2×0.0837345621587595-π/2
    0.167469124317519-1.57079632675     		φ = -1.40332720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57593724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.590332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40332720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.404726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59636 KachelY 58612 2.57593724 -1.40332720 147.590332 -80.404726
    Oben rechts KachelX + 1 59637 KachelY 58612 2.57603311 -1.40332720 147.595825 -80.404726
    Unten links KachelX 59636 KachelY + 1 58613 2.57593724 -1.40334318 147.590332 -80.405641
    Unten rechts KachelX + 1 59637 KachelY + 1 58613 2.57603311 -1.40334318 147.595825 -80.405641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40332720--1.40334318) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40332720--1.40334318) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57593724-2.57603311) × cos(-1.40332720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166687419818776 × 6371000     		do = 101.810637438162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57593724-2.57603311) × cos(-1.40334318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166671663361065 × 6371000     		du = 101.801013586494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40332720)-sin(-1.40334318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166687419818776-0.166671663361065)×R²
    abs(2.57603311-2.57593724)×1.57564577107361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57564577107361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57564577107361e-05×40589641000000     		ar = 10364.7065312359m²