Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59636 / 27260
↖ ↑ ↗
← N 71.859650°
W 16.204834°		 ← 95.09 m → N 71.859650°
W 16.202087°		 →
↑
95.12 m
↓
↑
95.12 m
↓
N 71.858794°
W 16.204834°		 ← 95.10 m →
9 045 m²		 N 71.858794°
W 16.202087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454990386962891 y=0.207981109619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454990386962891 × 217)
    floor (0.454990386962891 × 131072)
    floor (59636.5)     		tx = 59636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207981109619141 × 217)
    floor (0.207981109619141 × 131072)
    floor (27260.5)     		ty = 27260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59636 / 27260 ti = "17/59636/27260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59636/27260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59636 ÷ 217
    59636 ÷ 131072     		x = 0.454986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27260 ÷ 217
    27260 ÷ 131072     		y = 0.207977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.09002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28282771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207977294921875 × 2 - 1) × π
    0.58404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83483276985727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28282771} λ = -0.28282771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83483276985727))-π/2
    2×atan(6.26408651375858)-π/2
    2×1.4124919070363-π/2
    2.82498381407259-1.57079632675     		φ = 1.25418749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28282771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.204834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25418749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.859650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59636 KachelY 27260 -0.28282771 1.25418749 -16.204834 71.859650
    Oben rechts KachelX + 1 59637 KachelY 27260 -0.28277977 1.25418749 -16.202087 71.859650
    Unten links KachelX 59636 KachelY + 1 27261 -0.28282771 1.25417256 -16.204834 71.858794
    Unten rechts KachelX + 1 59637 KachelY + 1 27261 -0.28277977 1.25417256 -16.202087 71.858794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25418749-1.25417256) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dl = 95.1190300005071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25418749-1.25417256) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dr = 95.1190300005071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28282771--0.28277977) × cos(1.25418749) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311345745809015 × 6371000     		do = 95.0930048096179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28282771--0.28277977) × cos(1.25417256) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311359933704112 × 6371000     		du = 95.0973381579771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25418749)-sin(1.25417256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311345745809015-0.311359933704112)×R²
    abs(-0.28277977--0.28282771)×1.41878950973284e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.41878950973284e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.41878950973284e-05×40589641000000     		ar = 9045.36046930523m²