Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59635 / 86053
↖ ↑ ↗
← S 48.989229°
W 16.207580°		 ← 200.38 m → S 48.989229°
W 16.204834°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 48.991032°
W 16.207580°		 ← 200.37 m →
40 162 m²		 S 48.991032°
W 16.204834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454982757568359 y=0.656536102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454982757568359 × 217)
    floor (0.454982757568359 × 131072)
    floor (59635.5)     		tx = 59635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656536102294922 × 217)
    floor (0.656536102294922 × 131072)
    floor (86053.5)     		ty = 86053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59635 / 86053 ti = "17/59635/86053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59635/86053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59635 ÷ 217
    59635 ÷ 131072     		x = 0.454978942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86053 ÷ 217
    86053 ÷ 131072     		y = 0.656532287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454978942871094 × 2 - 1) × π
    -0.0900421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28287564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656532287597656 × 2 - 1) × π
    -0.313064575195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.983521369504692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28287564} λ = -0.28287564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983521369504692))-π/2
    2×atan(0.373991814001117)-π/2
    2×0.357886488336458-π/2
    0.715772976672915-1.57079632675     		φ = -0.85502335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28287564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.207580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85502335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.989229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59635 KachelY 86053 -0.28287564 -0.85502335 -16.207580 -48.989229
    Oben rechts KachelX + 1 59636 KachelY 86053 -0.28282771 -0.85502335 -16.204834 -48.989229
    Unten links KachelX 59635 KachelY + 1 86054 -0.28287564 -0.85505481 -16.207580 -48.991032
    Unten rechts KachelX + 1 59636 KachelY + 1 86054 -0.28282771 -0.85505481 -16.204834 -48.991032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85502335--0.85505481) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dl = 200.4316600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85502335--0.85505481) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dr = 200.4316600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28287564--0.28282771) × cos(-0.85502335) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656200890329017 × 6371000     		do = 200.378835958567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28287564--0.28282771) × cos(-0.85505481) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.656177150721222 × 6371000     		du = 200.371586783739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85502335)-sin(-0.85505481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656200890329017-0.656177150721222)×R²
    abs(-0.28282771--0.28287564)×2.37396077948926e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37396077948926e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37396077948926e-05×40589641000000     		ar = 40161.5362412128m²