Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59635 / 85269
↖ ↑ ↗
← S 47.556140°
W 16.207580°		 ← 206.08 m → S 47.556140°
W 16.204834°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
S 47.557994°
W 16.207580°		 ← 206.07 m →
42 472 m²		 S 47.557994°
W 16.204834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454982757568359 y=0.650554656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454982757568359 × 217)
    floor (0.454982757568359 × 131072)
    floor (59635.5)     		tx = 59635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650554656982422 × 217)
    floor (0.650554656982422 × 131072)
    floor (85269.5)     		ty = 85269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59635 / 85269 ti = "17/59635/85269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59635/85269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59635 ÷ 217
    59635 ÷ 131072     		x = 0.454978942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85269 ÷ 217
    85269 ÷ 131072     		y = 0.650550842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454978942871094 × 2 - 1) × π
    -0.0900421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28287564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650550842285156 × 2 - 1) × π
    -0.301101684570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.945938840202568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28287564} λ = -0.28287564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945938840202568))-π/2
    2×atan(0.388314834136234)-π/2
    2×0.370392549405937-π/2
    0.740785098811874-1.57079632675     		φ = -0.83001123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28287564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.207580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83001123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.556140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59635 KachelY 85269 -0.28287564 -0.83001123 -16.207580 -47.556140
    Oben rechts KachelX + 1 59636 KachelY 85269 -0.28282771 -0.83001123 -16.204834 -47.556140
    Unten links KachelX 59635 KachelY + 1 85270 -0.28287564 -0.83004358 -16.207580 -47.557994
    Unten rechts KachelX + 1 59636 KachelY + 1 85270 -0.28282771 -0.83004358 -16.204834 -47.557994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83001123--0.83004358) × R
    3.23500000000143e-05 × 6371000     		dl = 206.101850000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83001123--0.83004358) × R
    3.23500000000143e-05 × 6371000     		dr = 206.101850000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28287564--0.28282771) × cos(-0.83001123) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674867473059414 × 6371000     		do = 206.078901554281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28287564--0.28282771) × cos(-0.83004358) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674843600381257 × 6371000     		du = 206.071611744817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83001123)-sin(-0.83004358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674867473059414-0.674843600381257)×R²
    abs(-0.28282771--0.28287564)×2.38726781576215e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38726781576215e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38726781576215e-05×40589641000000     		ar = 42472.4916384638m²