Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59634 / 35538
↖ ↑ ↗
← N 63.290470°
W 16.210327°		 ← 137.28 m → N 63.290470°
W 16.207580°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 63.289236°
W 16.210327°		 ← 137.28 m →
18 839 m²		 N 63.289236°
W 16.207580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454975128173828 y=0.271137237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454975128173828 × 217)
    floor (0.454975128173828 × 131072)
    floor (59634.5)     		tx = 59634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271137237548828 × 217)
    floor (0.271137237548828 × 131072)
    floor (35538.5)     		ty = 35538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59634 / 35538 ti = "17/59634/35538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59634/35538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59634 ÷ 217
    59634 ÷ 131072     		x = 0.454971313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35538 ÷ 217
    35538 ÷ 131072     		y = 0.271133422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454971313476562 × 2 - 1) × π
    -0.090057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28292358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271133422851562 × 2 - 1) × π
    0.457733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43801111480244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28292358} λ = -0.28292358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43801111480244))-π/2
    2×atan(4.21230967985915)-π/2
    2×1.3377117097617-π/2
    2.67542341952341-1.57079632675     		φ = 1.10462709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28292358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.210327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10462709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.290470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59634 KachelY 35538 -0.28292358 1.10462709 -16.210327 63.290470
    Oben rechts KachelX + 1 59635 KachelY 35538 -0.28287564 1.10462709 -16.207580 63.290470
    Unten links KachelX 59634 KachelY + 1 35539 -0.28292358 1.10460555 -16.210327 63.289236
    Unten rechts KachelX + 1 59635 KachelY + 1 35539 -0.28287564 1.10460555 -16.207580 63.289236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10462709-1.10460555) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10462709-1.10460555) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28292358--0.28287564) × cos(1.10462709) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449467583747425 × 6371000     		do = 137.278969372138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28292358--0.28287564) × cos(1.10460555) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449486825252829 × 6371000     		du = 137.284846223165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10462709)-sin(1.10460555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449467583747425-0.449486825252829)×R²
    abs(-0.28287564--0.28292358)×1.9241505403611e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9241505403611e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9241505403611e-05×40589641000000     		ar = 18839.3801653287m²