Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59632 / 58604
↖ ↑ ↗
← S 80.397398°
E147.568359°		 ← 101.90 m → S 80.397398°
E147.573853°		 →
↑
101.87 m
↓
↑
101.87 m
↓
S 80.398314°
E147.568359°		 ← 101.89 m →
10 380 m²		 S 80.398314°
E147.573853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909919738769531 y=0.894233703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909919738769531 × 216)
    floor (0.909919738769531 × 65536)
    floor (59632.5)     		tx = 59632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894233703613281 × 216)
    floor (0.894233703613281 × 65536)
    floor (58604.5)     		ty = 58604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59632 / 58604 ti = "16/59632/58604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59632/58604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59632 ÷ 216
    59632 ÷ 65536     		x = 0.909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58604 ÷ 216
    58604 ÷ 65536     		y = 0.89422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909912109375 × 2 - 1) × π
    0.81982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57555374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.7884521484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47699547716754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57555374} λ = 2.57555374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47699547716754))-π/2
    2×atan(0.0839952123860289)-π/2
    2×0.0837985101601538-π/2
    0.167597020320308-1.57079632675     		φ = -1.40319931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57555374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40319931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.397398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59632 KachelY 58604 2.57555374 -1.40319931 147.568359 -80.397398
    Oben rechts KachelX + 1 59633 KachelY 58604 2.57564962 -1.40319931 147.573853 -80.397398
    Unten links KachelX 59632 KachelY + 1 58605 2.57555374 -1.40321530 147.568359 -80.398314
    Unten rechts KachelX + 1 59633 KachelY + 1 58605 2.57564962 -1.40321530 147.573853 -80.398314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40319931--1.40321530) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dl = 101.872290000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40319931--1.40321530) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dr = 101.872290000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57555374-2.57564962) × cos(-1.40319931) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166813519247195 × 6371000     		do = 101.898285116091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57555374-2.57564962) × cos(-1.40321530) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166797753270342 × 6371000     		du = 101.888654445796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40319931)-sin(-1.40321530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166813519247195-0.166797753270342)×R²
    abs(2.57564962-2.57555374)×1.57659768533214e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57659768533214e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57659768533214e-05×40589641000000     		ar = 10380.1211032703m²