Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59632 / 35536
↖ ↑ ↗
← N 63.292939°
W 16.215821°		 ← 137.27 m → N 63.292939°
W 16.213074°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 63.291705°
W 16.215821°		 ← 137.27 m →
18 838 m²		 N 63.291705°
W 16.213074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454959869384766 y=0.271121978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454959869384766 × 217)
    floor (0.454959869384766 × 131072)
    floor (59632.5)     		tx = 59632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271121978759766 × 217)
    floor (0.271121978759766 × 131072)
    floor (35536.5)     		ty = 35536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59632 / 35536 ti = "17/59632/35536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59632/35536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59632 ÷ 217
    59632 ÷ 131072     		x = 0.4549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35536 ÷ 217
    35536 ÷ 131072     		y = 0.2711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2711181640625 × 2 - 1) × π
    0.457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28301946} λ = -0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43810698860168))-π/2
    2×atan(4.21271354935167)-π/2
    2×1.33773325492141-π/2
    2.67546650984282-1.57079632675     		φ = 1.10467018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10467018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.292939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59632 KachelY 35536 -0.28301946 1.10467018 -16.215821 63.292939
    Oben rechts KachelX + 1 59633 KachelY 35536 -0.28297152 1.10467018 -16.213074 63.292939
    Unten links KachelX 59632 KachelY + 1 35537 -0.28301946 1.10464864 -16.215821 63.291705
    Unten rechts KachelX + 1 59633 KachelY + 1 35537 -0.28297152 1.10464864 -16.213074 63.291705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10467018-1.10464864) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dl = 137.231340000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10467018-1.10464864) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dr = 137.231340000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28301946--0.28297152) × cos(1.10467018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449429091177846 × 6371000     		do = 137.26721275059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28301946--0.28297152) × cos(1.10464864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449448333100418 × 6371000     		du = 137.27308972903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10467018)-sin(1.10464864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449429091177846-0.449448333100418)×R²
    abs(-0.28297152--0.28301946)×1.92419225720775e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92419225720775e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92419225720775e-05×40589641000000     		ar = 18837.766797615m²