Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59631 / 85276
↖ ↑ ↗
← S 47.569114°
W 16.218567°		 ← 206.03 m → S 47.569114°
W 16.215821°		 →
↑
206.04 m
↓
↑
206.04 m
↓
S 47.570967°
W 16.218567°		 ← 206.02 m →
42 449 m²		 S 47.570967°
W 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454952239990234 y=0.650608062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454952239990234 × 217)
    floor (0.454952239990234 × 131072)
    floor (59631.5)     		tx = 59631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650608062744141 × 217)
    floor (0.650608062744141 × 131072)
    floor (85276.5)     		ty = 85276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59631 / 85276 ti = "17/59631/85276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59631/85276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59631 ÷ 217
    59631 ÷ 131072     		x = 0.454948425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85276 ÷ 217
    85276 ÷ 131072     		y = 0.650604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454948425292969 × 2 - 1) × π
    -0.0901031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28306739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.30120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.946274398499908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28306739} λ = -0.28306739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946274398499908))-π/2
    2×atan(0.388184553731217)-π/2
    2×0.370279334734334-π/2
    0.740558669468668-1.57079632675     		φ = -0.83023766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28306739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.218567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83023766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.569114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59631 KachelY 85276 -0.28306739 -0.83023766 -16.218567 -47.569114
    Oben rechts KachelX + 1 59632 KachelY 85276 -0.28301946 -0.83023766 -16.215821 -47.569114
    Unten links KachelX 59631 KachelY + 1 85277 -0.28306739 -0.83027000 -16.218567 -47.570967
    Unten rechts KachelX + 1 59632 KachelY + 1 85277 -0.28301946 -0.83027000 -16.215821 -47.570967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83023766--0.83027000) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dl = 206.038139999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83023766--0.83027000) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dr = 206.038139999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28306739--0.28301946) × cos(-0.83023766) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674700364244001 × 6371000     		do = 206.027872867175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28306739--0.28301946) × cos(-0.83027000) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674676494004267 × 6371000     		du = 206.020583802313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83023766)-sin(-0.83027000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674700364244001-0.674676494004267)×R²
    abs(-0.28301946--0.28306739)×2.38702397339363e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38702397339363e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38702397339363e-05×40589641000000     		ar = 42448.8488046777m²