Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59628 / 58651
↖ ↑ ↗
← S 80.440370°
E147.546387°		 ← 101.44 m → S 80.440370°
E147.551880°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 80.441282°
E147.546387°		 ← 101.43 m →
10 288 m²		 S 80.441282°
E147.551880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909858703613281 y=0.894950866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909858703613281 × 216)
    floor (0.909858703613281 × 65536)
    floor (59628.5)     		tx = 59628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894950866699219 × 216)
    floor (0.894950866699219 × 65536)
    floor (58651.5)     		ty = 58651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59628 / 58651 ti = "16/59628/58651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59628/58651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59628 ÷ 216
    59628 ÷ 65536     		x = 0.90985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58651 ÷ 216
    58651 ÷ 65536     		y = 0.894943237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90985107421875 × 2 - 1) × π
    0.8197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57517025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894943237304688 × 2 - 1) × π
    -0.789886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48150154573183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57517025} λ = 2.57517025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48150154573183))-π/2
    2×atan(0.0836175756674006)-π/2
    2×0.0834235072829459-π/2
    0.166847014565892-1.57079632675     		φ = -1.40394931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57517025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40394931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.440370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59628 KachelY 58651 2.57517025 -1.40394931 147.546387 -80.440370
    Oben rechts KachelX + 1 59629 KachelY 58651 2.57526612 -1.40394931 147.551880 -80.440370
    Unten links KachelX 59628 KachelY + 1 58652 2.57517025 -1.40396523 147.546387 -80.441282
    Unten rechts KachelX + 1 59629 KachelY + 1 58652 2.57526612 -1.40396523 147.551880 -80.441282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40394931--1.40396523) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40394931--1.40396523) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57517025-2.57526612) × cos(-1.40394931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166073981052734 × 6371000     		do = 101.435956542219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57517025-2.57526612) × cos(-1.40396523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166058282108014 × 6371000     		du = 101.426367818783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40394931)-sin(-1.40396523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166073981052734-0.166058282108014)×R²
    abs(2.57526612-2.57517025)×1.56989447193112e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56989447193112e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56989447193112e-05×40589641000000     		ar = 10287.7895133749m²