Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59628 / 58540
↖ ↑ ↗
← S 80.338575°
E147.546387°		 ← 102.51 m → S 80.338575°
E147.551880°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 80.339497°
E147.546387°		 ← 102.50 m →
10 507 m²		 S 80.339497°
E147.551880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909858703613281 y=0.893257141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909858703613281 × 216)
    floor (0.909858703613281 × 65536)
    floor (59628.5)     		tx = 59628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893257141113281 × 216)
    floor (0.893257141113281 × 65536)
    floor (58540.5)     		ty = 58540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59628 / 58540 ti = "16/59628/58540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59628/58540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59628 ÷ 216
    59628 ÷ 65536     		x = 0.90985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58540 ÷ 216
    58540 ÷ 65536     		y = 0.89324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90985107421875 × 2 - 1) × π
    0.8197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57517025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.7864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47085955401617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57517025} λ = 2.57517025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47085955401617))-π/2
    2×atan(0.0845121849843985)-π/2
    2×0.084311838788796-π/2
    0.168623677577592-1.57079632675     		φ = -1.40217265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57517025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40217265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.338575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59628 KachelY 58540 2.57517025 -1.40217265 147.546387 -80.338575
    Oben rechts KachelX + 1 59629 KachelY 58540 2.57526612 -1.40217265 147.551880 -80.338575
    Unten links KachelX 59628 KachelY + 1 58541 2.57517025 -1.40218874 147.546387 -80.339497
    Unten rechts KachelX + 1 59629 KachelY + 1 58541 2.57526612 -1.40218874 147.551880 -80.339497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40217265--1.40218874) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dl = 102.509389999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40217265--1.40218874) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dr = 102.509389999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57517025-2.57526612) × cos(-1.40217265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167825706071835 × 6371000     		do = 102.505888760289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57517025-2.57526612) × cos(-1.40218874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167809844259683 × 6371000     		du = 102.496200559417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40217265)-sin(-1.40218874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167825706071835-0.167809844259683)×R²
    abs(2.57526612-2.57517025)×1.58618121519072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58618121519072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58618121519072e-05×40589641000000     		ar = 10507.3195624307m²