Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59627 / 85922
↖ ↑ ↗
← S 48.752567°
W 16.229553°		 ← 201.37 m → S 48.752567°
W 16.226806°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
S 48.754378°
W 16.229553°		 ← 201.36 m →
40 540 m²		 S 48.754378°
W 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454921722412109 y=0.655536651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454921722412109 × 217)
    floor (0.454921722412109 × 131072)
    floor (59627.5)     		tx = 59627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655536651611328 × 217)
    floor (0.655536651611328 × 131072)
    floor (85922.5)     		ty = 85922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59627 / 85922 ti = "17/59627/85922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59627/85922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59627 ÷ 217
    59627 ÷ 131072     		x = 0.454917907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85922 ÷ 217
    85922 ÷ 131072     		y = 0.655532836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454917907714844 × 2 - 1) × π
    -0.0901641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28325914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655532836914062 × 2 - 1) × π
    -0.311065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.977241635654465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28325914} λ = -0.28325914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977241635654465))-π/2
    2×atan(0.376347772709759)-π/2
    2×0.359951755329406-π/2
    0.719903510658812-1.57079632675     		φ = -0.85089282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28325914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.229553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85089282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.752567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59627 KachelY 85922 -0.28325914 -0.85089282 -16.229553 -48.752567
    Oben rechts KachelX + 1 59628 KachelY 85922 -0.28321120 -0.85089282 -16.226806 -48.752567
    Unten links KachelX 59627 KachelY + 1 85923 -0.28325914 -0.85092442 -16.229553 -48.754378
    Unten rechts KachelX + 1 59628 KachelY + 1 85923 -0.28321120 -0.85092442 -16.226806 -48.754378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85089282--0.85092442) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85089282--0.85092442) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28325914--0.28321120) × cos(-0.85089282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659312124757421 × 6371000     		do = 201.370893595109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28325914--0.28321120) × cos(-0.85092442) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659288365356727 × 6371000     		du = 201.36363686257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85089282)-sin(-0.85092442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659312124757421-0.659288365356727)×R²
    abs(-0.28321120--0.28325914)×2.3759400693657e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3759400693657e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3759400693657e-05×40589641000000     		ar = 40539.9827614068m²