Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59627 / 85054
↖ ↑ ↗
← S 47.156105°
W 16.229553°		 ← 207.69 m → S 47.156105°
W 16.226806°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 47.157973°
W 16.229553°		 ← 207.68 m →
43 135 m²		 S 47.157973°
W 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454921722412109 y=0.648914337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454921722412109 × 217)
    floor (0.454921722412109 × 131072)
    floor (59627.5)     		tx = 59627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648914337158203 × 217)
    floor (0.648914337158203 × 131072)
    floor (85054.5)     		ty = 85054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59627 / 85054 ti = "17/59627/85054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59627/85054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59627 ÷ 217
    59627 ÷ 131072     		x = 0.454917907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85054 ÷ 217
    85054 ÷ 131072     		y = 0.648910522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454917907714844 × 2 - 1) × π
    -0.0901641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28325914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648910522460938 × 2 - 1) × π
    -0.297821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.935632406784256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28325914} λ = -0.28325914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935632406784256))-π/2
    2×atan(0.392337670055277)-π/2
    2×0.373883518036572-π/2
    0.747767036073143-1.57079632675     		φ = -0.82302929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28325914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.229553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82302929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.156105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59627 KachelY 85054 -0.28325914 -0.82302929 -16.229553 -47.156105
    Oben rechts KachelX + 1 59628 KachelY 85054 -0.28321120 -0.82302929 -16.226806 -47.156105
    Unten links KachelX 59627 KachelY + 1 85055 -0.28325914 -0.82306189 -16.229553 -47.157973
    Unten rechts KachelX + 1 59628 KachelY + 1 85055 -0.28321120 -0.82306189 -16.226806 -47.157973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82302929--0.82306189) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dl = 207.694599999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82302929--0.82306189) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dr = 207.694599999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28325914--0.28321120) × cos(-0.82302929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.680003227692091 × 6371000     		do = 207.69048902035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28325914--0.28321120) × cos(-0.82306189) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679979324713517 × 6371000     		du = 207.68318843543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82302929)-sin(-0.82306189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680003227692091-0.679979324713517)×R²
    abs(-0.28321120--0.28325914)×2.39029785740197e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39029785740197e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39029785740197e-05×40589641000000     		ar = 43135.4348986206m²