Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59627 / 58653
↖ ↑ ↗
← S 80.442194°
E147.540893°		 ← 101.43 m → S 80.442194°
E147.546387°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 80.443107°
E147.540893°		 ← 101.42 m →
10 287 m²		 S 80.443107°
E147.546387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909843444824219 y=0.894981384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909843444824219 × 216)
    floor (0.909843444824219 × 65536)
    floor (59627.5)     		tx = 59627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894981384277344 × 216)
    floor (0.894981384277344 × 65536)
    floor (58653.5)     		ty = 58653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59627 / 58653 ti = "16/59627/58653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59627/58653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59627 ÷ 216
    59627 ÷ 65536     		x = 0.909835815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58653 ÷ 216
    58653 ÷ 65536     		y = 0.894973754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909835815429688 × 2 - 1) × π
    0.819671630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57507437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894973754882812 × 2 - 1) × π
    -0.789947509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48169329333031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57507437} λ = 2.57507437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48169329333031))-π/2
    2×atan(0.0836015437351671)-π/2
    2×0.0834075866448641-π/2
    0.166815173289728-1.57079632675     		φ = -1.40398115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57507437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.540893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40398115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.442194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59627 KachelY 58653 2.57507437 -1.40398115 147.540893 -80.442194
    Oben rechts KachelX + 1 59628 KachelY 58653 2.57517025 -1.40398115 147.546387 -80.442194
    Unten links KachelX 59627 KachelY + 1 58654 2.57507437 -1.40399707 147.540893 -80.443107
    Unten rechts KachelX + 1 59628 KachelY + 1 58654 2.57517025 -1.40399707 147.546387 -80.443107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40398115--1.40399707) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40398115--1.40399707) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57507437-2.57517025) × cos(-1.40398115) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.166042583121208 × 6371000     		do = 101.427357643016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57507437-2.57517025) × cos(-1.40399707) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.166026884092319 × 6371000     		du = 101.417767867985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40398115)-sin(-1.40399707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166042583121208-0.166026884092319)×R²
    abs(2.57517025-2.57507437)×1.56990288890935e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.56990288890935e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.56990288890935e-05×40589641000000     		ar = 10286.91730545m²