Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59626 / 58617
↖ ↑ ↗
← S 80.409303°
E147.535400°		 ← 101.76 m → S 80.409303°
E147.540893°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
S 80.410218°
E147.535400°		 ← 101.75 m →
10 353 m²		 S 80.410218°
E147.540893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909828186035156 y=0.894432067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909828186035156 × 216)
    floor (0.909828186035156 × 65536)
    floor (59626.5)     		tx = 59626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894432067871094 × 216)
    floor (0.894432067871094 × 65536)
    floor (58617.5)     		ty = 58617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59626 / 58617 ti = "16/59626/58617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59626/58617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59626 ÷ 216
    59626 ÷ 65536     		x = 0.909820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58617 ÷ 216
    58617 ÷ 65536     		y = 0.894424438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909820556640625 × 2 - 1) × π
    0.81964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57497850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894424438476562 × 2 - 1) × π
    -0.788848876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.47824183655766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57497850} λ = 2.57497850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47824183655766))-π/2
    2×atan(0.0838905893768248)-π/2
    2×0.0836946192093398-π/2
    0.16738923841868-1.57079632675     		φ = -1.40340709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57497850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.535400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40340709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.409303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59626 KachelY 58617 2.57497850 -1.40340709 147.535400 -80.409303
    Oben rechts KachelX + 1 59627 KachelY 58617 2.57507437 -1.40340709 147.540893 -80.409303
    Unten links KachelX 59626 KachelY + 1 58618 2.57497850 -1.40342306 147.535400 -80.410218
    Unten rechts KachelX + 1 59627 KachelY + 1 58618 2.57507437 -1.40342306 147.540893 -80.410218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40340709--1.40342306) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dl = 101.744869999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40340709--1.40342306) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dr = 101.744869999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57497850-2.57507437) × cos(-1.40340709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16660864696488 × 6371000     		do = 101.762523942394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57497850-2.57507437) × cos(-1.40342306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166592900154687 × 6371000     		du = 101.752905983312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40340709)-sin(-1.40342306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16660864696488-0.166592900154687)×R²
    abs(2.57507437-2.57497850)×1.57468101930069e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57468101930069e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57468101930069e-05×40589641000000     		ar = 10353.3254807175m²