Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59626 / 30251
↖ ↑ ↗
← N 69.120506°
W 16.232300°		 ← 108.85 m → N 69.120506°
W 16.229553°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 69.119527°
W 16.232300°		 ← 108.86 m →
11 845 m²		 N 69.119527°
W 16.229553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454914093017578 y=0.230800628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454914093017578 × 217)
    floor (0.454914093017578 × 131072)
    floor (59626.5)     		tx = 59626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230800628662109 × 217)
    floor (0.230800628662109 × 131072)
    floor (30251.5)     		ty = 30251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59626 / 30251 ti = "17/59626/30251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59626/30251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59626 ÷ 217
    59626 ÷ 131072     		x = 0.454910278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30251 ÷ 217
    30251 ÷ 131072     		y = 0.230796813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454910278320312 × 2 - 1) × π
    -0.090179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28330708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230796813964844 × 2 - 1) × π
    0.538406372070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.69145350309368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28330708} λ = -0.28330708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69145350309368))-π/2
    2×atan(5.42736366466746)-π/2
    2×1.38858836918984-π/2
    2.77717673837969-1.57079632675     		φ = 1.20638041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28330708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.232300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20638041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.120506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59626 KachelY 30251 -0.28330708 1.20638041 -16.232300 69.120506
    Oben rechts KachelX + 1 59627 KachelY 30251 -0.28325914 1.20638041 -16.229553 69.120506
    Unten links KachelX 59626 KachelY + 1 30252 -0.28330708 1.20636333 -16.232300 69.119527
    Unten rechts KachelX + 1 59627 KachelY + 1 30252 -0.28325914 1.20636333 -16.229553 69.119527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20638041-1.20636333) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20638041-1.20636333) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28330708--0.28325914) × cos(1.20638041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356403627620356 × 6371000     		do = 108.85484170456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28330708--0.28325914) × cos(1.20636333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356419585960465 × 6371000     		du = 108.859715792397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20638041)-sin(1.20636333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356403627620356-0.356419585960465)×R²
    abs(-0.28325914--0.28330708)×1.5958340108424e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5958340108424e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5958340108424e-05×40589641000000     		ar = 11845.4876672858m²