Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59625 / 82473
↖ ↑ ↗
← S 42.116562°
W 16.235046°		 ← 226.51 m → S 42.116562°
W 16.232300°		 →
↑
226.49 m
↓
↑
226.49 m
↓
S 42.118598°
W 16.235046°		 ← 226.50 m →
51 302 m²		 S 42.118598°
W 16.232300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454906463623047 y=0.629222869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454906463623047 × 217)
    floor (0.454906463623047 × 131072)
    floor (59625.5)     		tx = 59625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629222869873047 × 217)
    floor (0.629222869873047 × 131072)
    floor (82473.5)     		ty = 82473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59625 / 82473 ti = "17/59625/82473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59625/82473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59625 ÷ 217
    59625 ÷ 131072     		x = 0.454902648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82473 ÷ 217
    82473 ÷ 131072     		y = 0.629219055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454902648925781 × 2 - 1) × π
    -0.0901947021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28335501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629219055175781 × 2 - 1) × π
    -0.258438110351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.811907268864891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28335501} λ = -0.28335501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811907268864891))-π/2
    2×atan(0.444010410894205)-π/2
    2×0.417861830814816-π/2
    0.835723661629633-1.57079632675     		φ = -0.73507267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28335501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.235046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73507267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.116562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59625 KachelY 82473 -0.28335501 -0.73507267 -16.235046 -42.116562
    Oben rechts KachelX + 1 59626 KachelY 82473 -0.28330708 -0.73507267 -16.232300 -42.116562
    Unten links KachelX 59625 KachelY + 1 82474 -0.28335501 -0.73510822 -16.235046 -42.118598
    Unten rechts KachelX + 1 59626 KachelY + 1 82474 -0.28330708 -0.73510822 -16.232300 -42.118598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73507267--0.73510822) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dl = 226.48904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73507267--0.73510822) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dr = 226.48904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28335501--0.28330708) × cos(-0.73507267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741782019874993 × 6371000     		do = 226.512063406667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28335501--0.28330708) × cos(-0.73510822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.741758178116486 × 6371000     		du = 226.50478303889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73507267)-sin(-0.73510822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741782019874993-0.741758178116486)×R²
    abs(-0.28330708--0.28335501)×2.38417585072259e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38417585072259e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38417585072259e-05×40589641000000     		ar = 51301.677598168m²