Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59625 / 38701
↖ ↑ ↗
← N 59.112538°
W 16.235046°		 ← 156.76 m → N 59.112538°
W 16.232300°		 →
↑
156.73 m
↓
↑
156.73 m
↓
N 59.111129°
W 16.235046°		 ← 156.77 m →
24 569 m²		 N 59.111129°
W 16.232300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454906463623047 y=0.295269012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454906463623047 × 217)
    floor (0.454906463623047 × 131072)
    floor (59625.5)     		tx = 59625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295269012451172 × 217)
    floor (0.295269012451172 × 131072)
    floor (38701.5)     		ty = 38701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59625 / 38701 ti = "17/59625/38701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59625/38701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59625 ÷ 217
    59625 ÷ 131072     		x = 0.454902648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38701 ÷ 217
    38701 ÷ 131072     		y = 0.295265197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454902648925781 × 2 - 1) × π
    -0.0901947021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28335501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295265197753906 × 2 - 1) × π
    0.409469604492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.28638670130421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28335501} λ = -0.28335501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28638670130421))-π/2
    2×atan(3.61968389899072)-π/2
    2×1.30125237572426-π/2
    2.60250475144853-1.57079632675     		φ = 1.03170842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28335501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.235046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03170842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.112538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59625 KachelY 38701 -0.28335501 1.03170842 -16.235046 59.112538
    Oben rechts KachelX + 1 59626 KachelY 38701 -0.28330708 1.03170842 -16.232300 59.112538
    Unten links KachelX 59625 KachelY + 1 38702 -0.28335501 1.03168382 -16.235046 59.111129
    Unten rechts KachelX + 1 59626 KachelY + 1 38702 -0.28330708 1.03168382 -16.232300 59.111129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03170842-1.03168382) × R
    2.45999999999302e-05 × 6371000     		dl = 156.726599999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03170842-1.03168382) × R
    2.45999999999302e-05 × 6371000     		dr = 156.726599999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28335501--0.28330708) × cos(1.03170842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.513353467642898 × 6371000     		do = 156.758656987071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28335501--0.28330708) × cos(1.03168382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.513374578648272 × 6371000     		du = 156.765103486527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03170842)-sin(1.03168382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513353467642898-0.513374578648272)×R²
    abs(-0.28330708--0.28335501)×2.11110053733865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11110053733865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11110053733865e-05×40589641000000     		ar = 24568.7565003046m²