Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59625 / 35826
↖ ↑ ↗
← N 62.932735°
W 16.235046°		 ← 138.95 m → N 62.932735°
W 16.232300°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 62.931486°
W 16.235046°		 ← 138.96 m →
19 308 m²		 N 62.931486°
W 16.232300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454906463623047 y=0.273334503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454906463623047 × 217)
    floor (0.454906463623047 × 131072)
    floor (59625.5)     		tx = 59625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273334503173828 × 217)
    floor (0.273334503173828 × 131072)
    floor (35826.5)     		ty = 35826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59625 / 35826 ti = "17/59625/35826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59625/35826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59625 ÷ 217
    59625 ÷ 131072     		x = 0.454902648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35826 ÷ 217
    35826 ÷ 131072     		y = 0.273330688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454902648925781 × 2 - 1) × π
    -0.0901947021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28335501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273330688476562 × 2 - 1) × π
    0.453338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42420528771187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28335501} λ = -0.28335501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42420528771187))-π/2
    2×atan(4.15455485467251)-π/2
    2×1.33458988329776-π/2
    2.66917976659552-1.57079632675     		φ = 1.09838344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28335501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.235046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09838344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.932735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59625 KachelY 35826 -0.28335501 1.09838344 -16.235046 62.932735
    Oben rechts KachelX + 1 59626 KachelY 35826 -0.28330708 1.09838344 -16.232300 62.932735
    Unten links KachelX 59625 KachelY + 1 35827 -0.28335501 1.09836163 -16.235046 62.931486
    Unten rechts KachelX + 1 59626 KachelY + 1 35827 -0.28330708 1.09836163 -16.232300 62.931486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09838344-1.09836163) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09838344-1.09836163) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28335501--0.28330708) × cos(1.09838344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455036218284489 × 6371000     		do = 138.95078333896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28335501--0.28330708) × cos(1.09836163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455055639390878 × 6371000     		du = 138.956713807431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09838344)-sin(1.09836163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455036218284489-0.455055639390878)×R²
    abs(-0.28330708--0.28335501)×1.94211063889171e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94211063889171e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94211063889171e-05×40589641000000     		ar = 19307.8331851652m²