Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59625 / 27280
↖ ↑ ↗
← N 71.842539°
W 16.235046°		 ← 95.16 m → N 71.842539°
W 16.232300°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
N 71.841683°
W 16.235046°		 ← 95.16 m →
9 058 m²		 N 71.841683°
W 16.232300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454906463623047 y=0.208133697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454906463623047 × 217)
    floor (0.454906463623047 × 131072)
    floor (59625.5)     		tx = 59625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208133697509766 × 217)
    floor (0.208133697509766 × 131072)
    floor (27280.5)     		ty = 27280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59625 / 27280 ti = "17/59625/27280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59625/27280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59625 ÷ 217
    59625 ÷ 131072     		x = 0.454902648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27280 ÷ 217
    27280 ÷ 131072     		y = 0.2081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454902648925781 × 2 - 1) × π
    -0.0901947021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28335501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2081298828125 × 2 - 1) × π
    0.583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83387403186487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28335501} λ = -0.28335501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83387403186487))-π/2
    2×atan(6.25808377401728)-π/2
    2×1.41234258952945-π/2
    2.8246851790589-1.57079632675     		φ = 1.25388885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28335501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.235046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25388885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.842539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59625 KachelY 27280 -0.28335501 1.25388885 -16.235046 71.842539
    Oben rechts KachelX + 1 59626 KachelY 27280 -0.28330708 1.25388885 -16.232300 71.842539
    Unten links KachelX 59625 KachelY + 1 27281 -0.28335501 1.25387391 -16.235046 71.841683
    Unten rechts KachelX + 1 59626 KachelY + 1 27281 -0.28330708 1.25387391 -16.232300 71.841683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25388885-1.25387391) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25388885-1.25387391) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28335501--0.28330708) × cos(1.25388885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.311629528528808 × 6371000     		do = 95.159825439558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28335501--0.28330708) × cos(1.25387391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.311643724537035 × 6371000     		du = 95.1641603614482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25388885)-sin(1.25387391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311629528528808-0.311643724537035)×R²
    abs(-0.28330708--0.28335501)×1.41960082274961e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41960082274961e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41960082274961e-05×40589641000000     		ar = 9057.7792284664m²