Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59624 / 58614
↖ ↑ ↗
← S 80.406557°
E147.524414°		 ← 101.80 m → S 80.406557°
E147.529907°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
S 80.407473°
E147.524414°		 ← 101.79 m →
10 364 m²		 S 80.407473°
E147.529907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909797668457031 y=0.894386291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909797668457031 × 216)
    floor (0.909797668457031 × 65536)
    floor (59624.5)     		tx = 59624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894386291503906 × 216)
    floor (0.894386291503906 × 65536)
    floor (58614.5)     		ty = 58614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59624 / 58614 ti = "16/59624/58614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59624/58614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59624 ÷ 216
    59624 ÷ 65536     		x = 0.9097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58614 ÷ 216
    58614 ÷ 65536     		y = 0.894378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9097900390625 × 2 - 1) × π
    0.819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57478675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.78875732421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47795421515994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57478675} λ = 2.57478675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47795421515994))-π/2
    2×atan(0.083914721575699)-π/2
    2×0.0837185827133974-π/2
    0.167437165426795-1.57079632675     		φ = -1.40335916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57478675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40335916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.406557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59624 KachelY 58614 2.57478675 -1.40335916 147.524414 -80.406557
    Oben rechts KachelX + 1 59625 KachelY 58614 2.57488263 -1.40335916 147.529907 -80.406557
    Unten links KachelX 59624 KachelY + 1 58615 2.57478675 -1.40337514 147.524414 -80.407473
    Unten rechts KachelX + 1 59625 KachelY + 1 58615 2.57488263 -1.40337514 147.529907 -80.407473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40335916--1.40337514) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dl = 101.808580000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40335916--1.40337514) × R
    1.59800000001376e-05 × 6371000     		dr = 101.808580000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57478675-2.57488263) × cos(-1.40335916) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166655906860793 × 6371000     		do = 101.802007356591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57478675-2.57488263) × cos(-1.40337514) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166640150317964 × 6371000     		du = 101.792382449084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40335916)-sin(-1.40337514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166655906860793-0.166640150317964)×R²
    abs(2.57488263-2.57478675)×1.57565428295925e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57565428295925e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57565428295925e-05×40589641000000     		ar = 10363.8278611921m²