Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59624 / 30111
↖ ↑ ↗
← N 69.257122°
W 16.237793°		 ← 108.17 m → N 69.257122°
W 16.235046°		 →
↑
108.18 m
↓
↑
108.18 m
↓
N 69.256149°
W 16.237793°		 ← 108.18 m →
11 702 m²		 N 69.256149°
W 16.235046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454898834228516 y=0.229732513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454898834228516 × 217)
    floor (0.454898834228516 × 131072)
    floor (59624.5)     		tx = 59624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229732513427734 × 217)
    floor (0.229732513427734 × 131072)
    floor (30111.5)     		ty = 30111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59624 / 30111 ti = "17/59624/30111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59624/30111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59624 ÷ 217
    59624 ÷ 131072     		x = 0.45489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30111 ÷ 217
    30111 ÷ 131072     		y = 0.229728698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28340295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229728698730469 × 2 - 1) × π
    0.540542602539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.69816466904049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28340295} λ = -0.28340295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69816466904049))-π/2
    2×atan(5.46391010030178)-π/2
    2×1.38978056827111-π/2
    2.77956113654223-1.57079632675     		φ = 1.20876481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28340295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.237793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20876481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.257122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59624 KachelY 30111 -0.28340295 1.20876481 -16.237793 69.257122
    Oben rechts KachelX + 1 59625 KachelY 30111 -0.28335501 1.20876481 -16.235046 69.257122
    Unten links KachelX 59624 KachelY + 1 30112 -0.28340295 1.20874783 -16.237793 69.256149
    Unten rechts KachelX + 1 59625 KachelY + 1 30112 -0.28335501 1.20874783 -16.235046 69.256149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20876481-1.20874783) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dl = 108.179579998938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20876481-1.20874783) × R
    1.69799999998332e-05 × 6371000     		dr = 108.179579998938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28340295--0.28335501) × cos(1.20876481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354174795154608 × 6371000     		do = 108.174098899374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28340295--0.28335501) × cos(1.20874783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354190674447077 × 6371000     		du = 108.178948844027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20876481)-sin(1.20874783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354174795154608-0.354190674447077)×R²
    abs(-0.28335501--0.28340295)×1.58792924686013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58792924686013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58792924686013e-05×40589641000000     		ar = 11702.4909183684m²