Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59622 / 85304
↖ ↑ ↗
← S 47.620975°
W 16.243286°		 ← 205.82 m → S 47.620975°
W 16.240540°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
S 47.622826°
W 16.243286°		 ← 205.82 m →
42 367 m²		 S 47.622826°
W 16.240540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454883575439453 y=0.650821685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454883575439453 × 217)
    floor (0.454883575439453 × 131072)
    floor (59622.5)     		tx = 59622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650821685791016 × 217)
    floor (0.650821685791016 × 131072)
    floor (85304.5)     		ty = 85304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59622 / 85304 ti = "17/59622/85304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59622/85304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59622 ÷ 217
    59622 ÷ 131072     		x = 0.454879760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85304 ÷ 217
    85304 ÷ 131072     		y = 0.65081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454879760742188 × 2 - 1) × π
    -0.090240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28349882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65081787109375 × 2 - 1) × π
    -0.3016357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.94761663168927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28349882} λ = -0.28349882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94761663168927))-π/2
    2×atan(0.387663869057898)-π/2
    2×0.369826756403682-π/2
    0.739653512807363-1.57079632675     		φ = -0.83114281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28349882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.243286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83114281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.620975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59622 KachelY 85304 -0.28349882 -0.83114281 -16.243286 -47.620975
    Oben rechts KachelX + 1 59623 KachelY 85304 -0.28345089 -0.83114281 -16.240540 -47.620975
    Unten links KachelX 59622 KachelY + 1 85305 -0.28349882 -0.83117512 -16.243286 -47.622826
    Unten rechts KachelX + 1 59623 KachelY + 1 85305 -0.28345089 -0.83117512 -16.240540 -47.622826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83114281--0.83117512) × R
    3.23100000000354e-05 × 6371000     		dl = 205.847010000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83114281--0.83117512) × R
    3.23100000000354e-05 × 6371000     		dr = 205.847010000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28349882--0.28345089) × cos(-0.83114281) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.67403200420583 × 6371000     		do = 205.823781089148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28349882--0.28345089) × cos(-0.83117512) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674008136387744 × 6371000     		du = 205.816492763766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83114281)-sin(-0.83117512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67403200420583-0.674008136387744)×R²
    abs(-0.28345089--0.28349882)×2.38678180862761e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38678180862761e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38678180862761e-05×40589641000000     		ar = 42367.4597878488m²