Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59622 / 35822
↖ ↑ ↗
← N 62.937734°
W 16.243286°		 ← 138.93 m → N 62.937734°
W 16.240540°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 62.936484°
W 16.243286°		 ← 138.93 m →
19 305 m²		 N 62.936484°
W 16.240540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454883575439453 y=0.273303985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454883575439453 × 217)
    floor (0.454883575439453 × 131072)
    floor (59622.5)     		tx = 59622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273303985595703 × 217)
    floor (0.273303985595703 × 131072)
    floor (35822.5)     		ty = 35822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59622 / 35822 ti = "17/59622/35822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59622/35822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59622 ÷ 217
    59622 ÷ 131072     		x = 0.454879760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35822 ÷ 217
    35822 ÷ 131072     		y = 0.273300170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454879760742188 × 2 - 1) × π
    -0.090240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28349882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273300170898438 × 2 - 1) × π
    0.453399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42439703531035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28349882} λ = -0.28349882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42439703531035))-π/2
    2×atan(4.15535155696908)-π/2
    2×1.33463350562449-π/2
    2.66926701124897-1.57079632675     		φ = 1.09847068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28349882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.243286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09847068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.937734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59622 KachelY 35822 -0.28349882 1.09847068 -16.243286 62.937734
    Oben rechts KachelX + 1 59623 KachelY 35822 -0.28345089 1.09847068 -16.240540 62.937734
    Unten links KachelX 59622 KachelY + 1 35823 -0.28349882 1.09844887 -16.243286 62.936484
    Unten rechts KachelX + 1 59623 KachelY + 1 35823 -0.28345089 1.09844887 -16.240540 62.936484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09847068-1.09844887) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09847068-1.09844887) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28349882--0.28345089) × cos(1.09847068) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.454958531694527 × 6371000     		do = 138.927060803984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28349882--0.28345089) × cos(1.09844887) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.45497795366666 × 6371000     		du = 138.932991536821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09847068)-sin(1.09844887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454958531694527-0.45497795366666)×R²
    abs(-0.28345089--0.28349882)×1.94219721328937e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.94219721328937e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.94219721328937e-05×40589641000000     		ar = 19304.5369214169m²