Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59621 / 85991
↖ ↑ ↗
← S 48.877361°
W 16.246033°		 ← 200.87 m → S 48.877361°
W 16.243286°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
S 48.879167°
W 16.246033°		 ← 200.86 m →
40 337 m²		 S 48.879167°
W 16.243286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454875946044922 y=0.656063079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454875946044922 × 217)
    floor (0.454875946044922 × 131072)
    floor (59621.5)     		tx = 59621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656063079833984 × 217)
    floor (0.656063079833984 × 131072)
    floor (85991.5)     		ty = 85991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59621 / 85991 ti = "17/59621/85991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59621/85991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59621 ÷ 217
    59621 ÷ 131072     		x = 0.454872131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85991 ÷ 217
    85991 ÷ 131072     		y = 0.656059265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454872131347656 × 2 - 1) × π
    -0.0902557373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28354676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656059265136719 × 2 - 1) × π
    -0.312118530273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.980549281728249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28354676} λ = -0.28354676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980549281728249))-π/2
    2×atan(0.375105003929661)-π/2
    2×0.358862725332105-π/2
    0.717725450664209-1.57079632675     		φ = -0.85307088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28354676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.246033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85307088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.877361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59621 KachelY 85991 -0.28354676 -0.85307088 -16.246033 -48.877361
    Oben rechts KachelX + 1 59622 KachelY 85991 -0.28349882 -0.85307088 -16.243286 -48.877361
    Unten links KachelX 59621 KachelY + 1 85992 -0.28354676 -0.85310240 -16.246033 -48.879167
    Unten rechts KachelX + 1 59622 KachelY + 1 85992 -0.28349882 -0.85310240 -16.243286 -48.879167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85307088--0.85310240) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85307088--0.85310240) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28354676--0.28349882) × cos(-0.85307088) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657672945622143 × 6371000     		do = 200.870246094724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28354676--0.28349882) × cos(-0.85310240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657649201166332 × 6371000     		du = 200.862993926737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85307088)-sin(-0.85310240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657672945622143-0.657649201166332)×R²
    abs(-0.28349882--0.28354676)×2.37444558112143e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37444558112143e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37444558112143e-05×40589641000000     		ar = 40336.8133648995m²