Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59621 / 85305
↖ ↑ ↗
← S 47.622826°
W 16.246033°		 ← 205.86 m → S 47.622826°
W 16.243286°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
S 47.624678°
W 16.246033°		 ← 205.85 m →
42 375 m²		 S 47.624678°
W 16.243286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454875946044922 y=0.650829315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454875946044922 × 217)
    floor (0.454875946044922 × 131072)
    floor (59621.5)     		tx = 59621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650829315185547 × 217)
    floor (0.650829315185547 × 131072)
    floor (85305.5)     		ty = 85305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59621 / 85305 ti = "17/59621/85305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59621/85305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59621 ÷ 217
    59621 ÷ 131072     		x = 0.454872131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85305 ÷ 217
    85305 ÷ 131072     		y = 0.650825500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454872131347656 × 2 - 1) × π
    -0.0902557373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28354676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650825500488281 × 2 - 1) × π
    -0.301651000976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.94766456858889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28354676} λ = -0.28354676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94766456858889))-π/2
    2×atan(0.387645286099329)-π/2
    2×0.369810601187531-π/2
    0.739621202375061-1.57079632675     		φ = -0.83117512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28354676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.246033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83117512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.622826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59621 KachelY 85305 -0.28354676 -0.83117512 -16.246033 -47.622826
    Oben rechts KachelX + 1 59622 KachelY 85305 -0.28349882 -0.83117512 -16.243286 -47.622826
    Unten links KachelX 59621 KachelY + 1 85306 -0.28354676 -0.83120743 -16.246033 -47.624678
    Unten rechts KachelX + 1 59622 KachelY + 1 85306 -0.28349882 -0.83120743 -16.243286 -47.624678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83117512--0.83120743) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dl = 205.847009999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83117512--0.83120743) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dr = 205.847009999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28354676--0.28349882) × cos(-0.83117512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674008136387744 × 6371000     		do = 205.859433822351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28354676--0.28349882) × cos(-0.83120743) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673984267866036 × 6371000     		du = 205.852143761446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83117512)-sin(-0.83120743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674008136387744-0.673984267866036)×R²
    abs(-0.28349882--0.28354676)×2.38685217077705e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38685217077705e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38685217077705e-05×40589641000000     		ar = 42374.7986175463m²