Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59621 / 58662
↖ ↑ ↗
← S 80.450400°
E147.507935°		 ← 101.33 m → S 80.450400°
E147.513427°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 80.451311°
E147.507935°		 ← 101.32 m →
10 271 m²		 S 80.451311°
E147.513427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909751892089844 y=0.895118713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909751892089844 × 216)
    floor (0.909751892089844 × 65536)
    floor (59621.5)     		tx = 59621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895118713378906 × 216)
    floor (0.895118713378906 × 65536)
    floor (58662.5)     		ty = 58662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59621 / 58662 ti = "16/59621/58662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59621/58662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59621 ÷ 216
    59621 ÷ 65536     		x = 0.909744262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58662 ÷ 216
    58662 ÷ 65536     		y = 0.895111083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909744262695312 × 2 - 1) × π
    0.819488525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57449913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.79022216796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48255615752347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57449913} λ = 2.57449913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48255615752347))-π/2
    2×atan(0.0835294380697572)-π/2
    2×0.0833359810152916-π/2
    0.166671962030583-1.57079632675     		φ = -1.40412436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57449913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.507935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40412436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.450400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59621 KachelY 58662 2.57449913 -1.40412436 147.507935 -80.450400
    Oben rechts KachelX + 1 59622 KachelY 58662 2.57459500 -1.40412436 147.513427 -80.450400
    Unten links KachelX 59621 KachelY + 1 58663 2.57449913 -1.40414027 147.507935 -80.451311
    Unten rechts KachelX + 1 59622 KachelY + 1 58663 2.57459500 -1.40414027 147.513427 -80.451311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40412436--1.40414027) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dl = 101.362610000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40412436--1.40414027) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dr = 101.362610000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57449913-2.57459500) × cos(-1.40412436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165901359376665 × 6371000     		do = 101.33052133364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57449913-2.57459500) × cos(-1.40414027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165885669830844 × 6371000     		du = 101.320938350935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40412436)-sin(-1.40414027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165901359376665-0.165885669830844)×R²
    abs(2.57459500-2.57449913)×1.56895458213457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56895458213457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56895458213457e-05×40589641000000     		ar = 10270.6404374075m²