Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59621 / 58661
↖ ↑ ↗
← S 80.449489°
E147.507935°		 ← 101.34 m → S 80.449489°
E147.513427°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 80.450400°
E147.507935°		 ← 101.33 m →
10 265 m²		 S 80.450400°
E147.513427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909751892089844 y=0.895103454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909751892089844 × 216)
    floor (0.909751892089844 × 65536)
    floor (59621.5)     		tx = 59621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895103454589844 × 216)
    floor (0.895103454589844 × 65536)
    floor (58661.5)     		ty = 58661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59621 / 58661 ti = "16/59621/58661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59621/58661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59621 ÷ 216
    59621 ÷ 65536     		x = 0.909744262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58661 ÷ 216
    58661 ÷ 65536     		y = 0.895095825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909744262695312 × 2 - 1) × π
    0.819488525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57449913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895095825195312 × 2 - 1) × π
    -0.790191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48246028372423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57449913} λ = 2.57449913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48246028372423))-π/2
    2×atan(0.0835374467382379)-π/2
    2×0.0833439341878387-π/2
    0.166687868375677-1.57079632675     		φ = -1.40410846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57449913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.507935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40410846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.449489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59621 KachelY 58661 2.57449913 -1.40410846 147.507935 -80.449489
    Oben rechts KachelX + 1 59622 KachelY 58661 2.57459500 -1.40410846 147.513427 -80.449489
    Unten links KachelX 59621 KachelY + 1 58662 2.57449913 -1.40412436 147.507935 -80.450400
    Unten rechts KachelX + 1 59622 KachelY + 1 58662 2.57459500 -1.40412436 147.513427 -80.450400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40410846--1.40412436) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40410846--1.40412436) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57449913-2.57459500) × cos(-1.40410846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165917039019095 × 6371000     		do = 101.340098267474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57449913-2.57459500) × cos(-1.40412436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165901359376665 × 6371000     		du = 101.33052133364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40410846)-sin(-1.40412436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165917039019095-0.165901359376665)×R²
    abs(2.57459500-2.57449913)×1.56796424297667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56796424297667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56796424297667e-05×40589641000000     		ar = 10265.1554137914m²