Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59620 / 85973
↖ ↑ ↗
← S 48.844836°
W 16.248779°		 ← 201 m → S 48.844836°
W 16.246033°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
S 48.846644°
W 16.248779°		 ← 200.99 m →
40 401 m²		 S 48.846644°
W 16.246033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454868316650391 y=0.655925750732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454868316650391 × 217)
    floor (0.454868316650391 × 131072)
    floor (59620.5)     		tx = 59620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655925750732422 × 217)
    floor (0.655925750732422 × 131072)
    floor (85973.5)     		ty = 85973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59620 / 85973 ti = "17/59620/85973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59620/85973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59620 ÷ 217
    59620 ÷ 131072     		x = 0.454864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85973 ÷ 217
    85973 ÷ 131072     		y = 0.655921936035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.09027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28359470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655921936035156 × 2 - 1) × π
    -0.311843872070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.979686417535088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28359470} λ = -0.28359470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979686417535088))-π/2
    2×atan(0.375428808285729)-π/2
    2×0.359146558771608-π/2
    0.718293117543217-1.57079632675     		φ = -0.85250321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28359470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.248779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85250321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.844836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59620 KachelY 85973 -0.28359470 -0.85250321 -16.248779 -48.844836
    Oben rechts KachelX + 1 59621 KachelY 85973 -0.28354676 -0.85250321 -16.246033 -48.844836
    Unten links KachelX 59620 KachelY + 1 85974 -0.28359470 -0.85253476 -16.248779 -48.846644
    Unten rechts KachelX + 1 59621 KachelY + 1 85974 -0.28354676 -0.85253476 -16.246033 -48.846644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85250321--0.85253476) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85250321--0.85253476) × R
    3.15499999999913e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28359470--0.28354676) × cos(-0.85250321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658100467480019 × 6371000     		do = 201.000822274299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28359470--0.28354676) × cos(-0.85253476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658076712207009 × 6371000     		du = 200.993566802461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85250321)-sin(-0.85253476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658100467480019-0.658076712207009)×R²
    abs(-0.28354676--0.28359470)×2.37552730101287e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37552730101287e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37552730101287e-05×40589641000000     		ar = 40401.4511413847m²