Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59620 / 58668
↖ ↑ ↗
← S 80.455866°
E147.502442°		 ← 101.27 m → S 80.455866°
E147.507935°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 80.456777°
E147.502442°		 ← 101.26 m →
10 258 m²		 S 80.456777°
E147.507935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909736633300781 y=0.895210266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909736633300781 × 216)
    floor (0.909736633300781 × 65536)
    floor (59620.5)     		tx = 59620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895210266113281 × 216)
    floor (0.895210266113281 × 65536)
    floor (58668.5)     		ty = 58668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59620 / 58668 ti = "16/59620/58668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59620/58668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59620 ÷ 216
    59620 ÷ 65536     		x = 0.90972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58668 ÷ 216
    58668 ÷ 65536     		y = 0.89520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90972900390625 × 2 - 1) × π
    0.8194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57440326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.7904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48313140031891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57440326} λ = 2.57440326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48313140031891))-π/2
    2×atan(0.0834814021797748)-π/2
    2×0.0832882777674683-π/2
    0.166576555534937-1.57079632675     		φ = -1.40421977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57440326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.502442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40421977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.455866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59620 KachelY 58668 2.57440326 -1.40421977 147.502442 -80.455866
    Oben rechts KachelX + 1 59621 KachelY 58668 2.57449913 -1.40421977 147.507935 -80.455866
    Unten links KachelX 59620 KachelY + 1 58669 2.57440326 -1.40423567 147.502442 -80.456777
    Unten rechts KachelX + 1 59621 KachelY + 1 58669 2.57449913 -1.40423567 147.507935 -80.456777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40421977--1.40423567) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40421977--1.40423567) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57440326-2.57449913) × cos(-1.40421977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165807270779871 × 6371000     		do = 101.273053169422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57440326-2.57449913) × cos(-1.40423567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165791590843908 × 6371000     		du = 101.263476056301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40421977)-sin(-1.40423567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165807270779871-0.165791590843908)×R²
    abs(2.57449913-2.57440326)×1.56799359635473e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56799359635473e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56799359635473e-05×40589641000000     		ar = 10258.3638100359m²