Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59620 / 35820
↖ ↑ ↗
← N 62.940233°
W 16.248779°		 ← 138.94 m → N 62.940233°
W 16.246033°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 62.938984°
W 16.248779°		 ← 138.95 m →
19 307 m²		 N 62.938984°
W 16.246033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454868316650391 y=0.273288726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454868316650391 × 217)
    floor (0.454868316650391 × 131072)
    floor (59620.5)     		tx = 59620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273288726806641 × 217)
    floor (0.273288726806641 × 131072)
    floor (35820.5)     		ty = 35820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59620 / 35820 ti = "17/59620/35820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59620/35820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59620 ÷ 217
    59620 ÷ 131072     		x = 0.454864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35820 ÷ 217
    35820 ÷ 131072     		y = 0.273284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.09027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28359470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273284912109375 × 2 - 1) × π
    0.45343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42449290910959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28359470} λ = -0.28359470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42449290910959))-π/2
    2×atan(4.15574996540819)-π/2
    2×1.33465531399478-π/2
    2.66931062798955-1.57079632675     		φ = 1.09851430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28359470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.248779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09851430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.940233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59620 KachelY 35820 -0.28359470 1.09851430 -16.248779 62.940233
    Oben rechts KachelX + 1 59621 KachelY 35820 -0.28354676 1.09851430 -16.246033 62.940233
    Unten links KachelX 59620 KachelY + 1 35821 -0.28359470 1.09849249 -16.248779 62.938984
    Unten rechts KachelX + 1 59621 KachelY + 1 35821 -0.28354676 1.09849249 -16.246033 62.938984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09851430-1.09849249) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09851430-1.09849249) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28359470--0.28354676) × cos(1.09851430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454919687101032 × 6371000     		do = 138.94418207331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28359470--0.28354676) × cos(1.09849249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454939109505981 × 6371000     		du = 138.950114175714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09851430)-sin(1.09849249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454919687101032-0.454939109505981)×R²
    abs(-0.28354676--0.28359470)×1.9422404949454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9422404949454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9422404949454e-05×40589641000000     		ar = 19306.9160427855m²