Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5962 / 6876
↖ ↑ ↗
← N 27.761330°
W 48.999023°		 ← 2 162.05 m → N 27.761330°
W 48.977051°		 →
↑
2 162.19 m
↓
↑
2 162.19 m
↓
N 27.741885°
W 48.999023°		 ← 2 162.43 m →
4 675 172 m²		 N 27.741885°
W 48.977051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363922119140625 y=0.419708251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363922119140625 × 214)
    floor (0.363922119140625 × 16384)
    floor (5962.5)     		tx = 5962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419708251953125 × 214)
    floor (0.419708251953125 × 16384)
    floor (6876.5)     		ty = 6876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5962 / 6876 ti = "14/5962/6876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5962/6876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5962 ÷ 214
    5962 ÷ 16384     		x = 0.3638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6876 ÷ 214
    6876 ÷ 16384     		y = 0.419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419677734375 × 2 - 1) × π
    0.16064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504679679199951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85519429} λ = -0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504679679199951))-π/2
    2×atan(1.65645483853204)-π/2
    2×1.02766146891226-π/2
    2.05532293782451-1.57079632675     		φ = 0.48452661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48452661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.761330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5962 KachelY 6876 -0.85519429 0.48452661 -48.999023 27.761330
    Oben rechts KachelX + 1 5963 KachelY 6876 -0.85481079 0.48452661 -48.977051 27.761330
    Unten links KachelX 5962 KachelY + 1 6877 -0.85519429 0.48418723 -48.999023 27.741885
    Unten rechts KachelX + 1 5963 KachelY + 1 6877 -0.85481079 0.48418723 -48.977051 27.741885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48452661-0.48418723) × R
    0.00033938 × 6371000     		dl = 2162.18998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48452661-0.48418723) × R
    0.00033938 × 6371000     		dr = 2162.18998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85519429--0.85481079) × cos(0.48452661) × R
    0.000383499999999981 × 0.884895548348582 × 6371000     		do = 2162.0462680257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85519429--0.85481079) × cos(0.48418723) × R
    0.000383499999999981 × 0.885053577029178 × 6371000     		du = 2162.43237610338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48452661)-sin(0.48418723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884895548348582-0.885053577029178)×R²
    abs(-0.85481079--0.85519429)×0.000158028680596001×R²
    0.000383499999999981×0.000158028680596001×6371000²
    0.000383499999999981×0.000158028680596001×40589641000000     		ar = 4675172.241403m²