Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5962 / 6874
↖ ↑ ↗
← N 27.800210°
W 48.999023°		 ← 2 161.27 m → N 27.800210°
W 48.977051°		 →
↑
2 161.49 m
↓
↑
2 161.49 m
↓
N 27.780771°
W 48.999023°		 ← 2 161.66 m →
4 671 987 m²		 N 27.780771°
W 48.977051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363922119140625 y=0.419586181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363922119140625 × 214)
    floor (0.363922119140625 × 16384)
    floor (5962.5)     		tx = 5962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419586181640625 × 214)
    floor (0.419586181640625 × 16384)
    floor (6874.5)     		ty = 6874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5962 / 6874 ti = "14/5962/6874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5962/6874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5962 ÷ 214
    5962 ÷ 16384     		x = 0.3638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6874 ÷ 214
    6874 ÷ 16384     		y = 0.4195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4195556640625 × 2 - 1) × π
    0.160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505446669593872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85519429} λ = -0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505446669593872))-π/2
    2×atan(1.65772581083062)-π/2
    2×1.02800076146786-π/2
    2.05600152293571-1.57079632675     		φ = 0.48520520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48520520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.800210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5962 KachelY 6874 -0.85519429 0.48520520 -48.999023 27.800210
    Oben rechts KachelX + 1 5963 KachelY 6874 -0.85481079 0.48520520 -48.977051 27.800210
    Unten links KachelX 5962 KachelY + 1 6875 -0.85519429 0.48486593 -48.999023 27.780771
    Unten rechts KachelX + 1 5963 KachelY + 1 6875 -0.85481079 0.48486593 -48.977051 27.780771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48520520-0.48486593) × R
    0.000339270000000003 × 6371000     		dl = 2161.48917000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48520520-0.48486593) × R
    0.000339270000000003 × 6371000     		dr = 2161.48917000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85519429--0.85481079) × cos(0.48520520) × R
    0.000383499999999981 × 0.884579264528319 × 6371000     		do = 2161.27349856775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85519429--0.85481079) × cos(0.48486593) × R
    0.000383499999999981 × 0.88473744571218 × 6371000     		du = 2161.65997925338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48520520)-sin(0.48486593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884579264528319-0.88473744571218)×R²
    abs(-0.85481079--0.85519429)×0.000158181183861128×R²
    0.000383499999999981×0.000158181183861128×6371000²
    0.000383499999999981×0.000158181183861128×40589641000000     		ar = 4671986.99228443m²