Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59619 / 85990
↖ ↑ ↗
← S 48.875555°
W 16.251526°		 ← 200.88 m → S 48.875555°
W 16.248779°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 48.877361°
W 16.251526°		 ← 200.87 m →
40 351 m²		 S 48.877361°
W 16.248779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454860687255859 y=0.656055450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454860687255859 × 217)
    floor (0.454860687255859 × 131072)
    floor (59619.5)     		tx = 59619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656055450439453 × 217)
    floor (0.656055450439453 × 131072)
    floor (85990.5)     		ty = 85990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59619 / 85990 ti = "17/59619/85990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59619/85990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59619 ÷ 217
    59619 ÷ 131072     		x = 0.454856872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85990 ÷ 217
    85990 ÷ 131072     		y = 0.656051635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454856872558594 × 2 - 1) × π
    -0.0902862548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28364264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656051635742188 × 2 - 1) × π
    -0.312103271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.980501344828629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28364264} λ = -0.28364264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980501344828629))-π/2
    2×atan(0.375122985731573)-π/2
    2×0.35887848901778-π/2
    0.71775697803556-1.57079632675     		φ = -0.85303935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28364264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.251526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85303935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.875555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59619 KachelY 85990 -0.28364264 -0.85303935 -16.251526 -48.875555
    Oben rechts KachelX + 1 59620 KachelY 85990 -0.28359470 -0.85303935 -16.248779 -48.875555
    Unten links KachelX 59619 KachelY + 1 85991 -0.28364264 -0.85307088 -16.251526 -48.877361
    Unten rechts KachelX + 1 59620 KachelY + 1 85991 -0.28359470 -0.85307088 -16.248779 -48.877361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85303935--0.85307088) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85303935--0.85307088) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28364264--0.28359470) × cos(-0.85303935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657696696957378 × 6371000     		do = 200.877500363864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28364264--0.28359470) × cos(-0.85307088) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657672945622143 × 6371000     		du = 200.870246094724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85303935)-sin(-0.85307088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657696696957378-0.657672945622143)×R²
    abs(-0.28359470--0.28364264)×2.37513352348007e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37513352348007e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37513352348007e-05×40589641000000     		ar = 40351.0675865703m²