Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59619 / 35821
↖ ↑ ↗
← N 62.938984°
W 16.251526°		 ← 138.95 m → N 62.938984°
W 16.248779°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 62.937734°
W 16.251526°		 ← 138.96 m →
19 308 m²		 N 62.937734°
W 16.248779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454860687255859 y=0.273296356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454860687255859 × 217)
    floor (0.454860687255859 × 131072)
    floor (59619.5)     		tx = 59619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273296356201172 × 217)
    floor (0.273296356201172 × 131072)
    floor (35821.5)     		ty = 35821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59619 / 35821 ti = "17/59619/35821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59619/35821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59619 ÷ 217
    59619 ÷ 131072     		x = 0.454856872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35821 ÷ 217
    35821 ÷ 131072     		y = 0.273292541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454856872558594 × 2 - 1) × π
    -0.0902862548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28364264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273292541503906 × 2 - 1) × π
    0.453414916992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.42444497220997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28364264} λ = -0.28364264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42444497220997))-π/2
    2×atan(4.15555075641402)-π/2
    2×1.33464441004237-π/2
    2.66928882008475-1.57079632675     		φ = 1.09849249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28364264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.251526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09849249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.938984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59619 KachelY 35821 -0.28364264 1.09849249 -16.251526 62.938984
    Oben rechts KachelX + 1 59620 KachelY 35821 -0.28359470 1.09849249 -16.248779 62.938984
    Unten links KachelX 59619 KachelY + 1 35822 -0.28364264 1.09847068 -16.251526 62.937734
    Unten rechts KachelX + 1 59620 KachelY + 1 35822 -0.28359470 1.09847068 -16.248779 62.937734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09849249-1.09847068) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09849249-1.09847068) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28364264--0.28359470) × cos(1.09849249) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454939109505981 × 6371000     		do = 138.950114175875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28364264--0.28359470) × cos(1.09847068) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454958531694527 × 6371000     		du = 138.956046212184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09849249)-sin(1.09847068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454939109505981-0.454958531694527)×R²
    abs(-0.28359470--0.28364264)×1.94221885458368e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94221885458368e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94221885458368e-05×40589641000000     		ar = 19307.7403129676m²