Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59618 / 85918
↖ ↑ ↗
← S 48.745323°
W 16.254272°		 ← 201.36 m → S 48.745323°
W 16.251526°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
S 48.747134°
W 16.254272°		 ← 201.35 m →
40 537 m²		 S 48.747134°
W 16.251526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454853057861328 y=0.655506134033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454853057861328 × 217)
    floor (0.454853057861328 × 131072)
    floor (59618.5)     		tx = 59618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655506134033203 × 217)
    floor (0.655506134033203 × 131072)
    floor (85918.5)     		ty = 85918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59618 / 85918 ti = "17/59618/85918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59618/85918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59618 ÷ 217
    59618 ÷ 131072     		x = 0.454849243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85918 ÷ 217
    85918 ÷ 131072     		y = 0.655502319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454849243164062 × 2 - 1) × π
    -0.090301513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28369057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655502319335938 × 2 - 1) × π
    -0.311004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.977049888055984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28369057} λ = -0.28369057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977049888055984))-π/2
    2×atan(0.376419943410427)-π/2
    2×0.360014970644541-π/2
    0.720029941289083-1.57079632675     		φ = -0.85076639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28369057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.254272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85076639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.745323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59618 KachelY 85918 -0.28369057 -0.85076639 -16.254272 -48.745323
    Oben rechts KachelX + 1 59619 KachelY 85918 -0.28364264 -0.85076639 -16.251526 -48.745323
    Unten links KachelX 59618 KachelY + 1 85919 -0.28369057 -0.85079799 -16.254272 -48.747134
    Unten rechts KachelX + 1 59619 KachelY + 1 85919 -0.28364264 -0.85079799 -16.251526 -48.747134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85076639--0.85079799) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85076639--0.85079799) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28369057--0.28364264) × cos(-0.85076639) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.659407178329911 × 6371000     		do = 201.357914571284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28369057--0.28364264) × cos(-0.85079799) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.659383421563436 × 6371000     		du = 201.350660156847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85076639)-sin(-0.85079799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659407178329911-0.659383421563436)×R²
    abs(-0.28364264--0.28369057)×2.37567664753691e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37567664753691e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37567664753691e-05×40589641000000     		ar = 40537.370011111m²