Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59617 / 85974
↖ ↑ ↗
← S 48.846644°
W 16.257019°		 ← 200.99 m → S 48.846644°
W 16.254272°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
S 48.848451°
W 16.257019°		 ← 200.99 m →
40 387 m²		 S 48.848451°
W 16.254272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454845428466797 y=0.655933380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454845428466797 × 217)
    floor (0.454845428466797 × 131072)
    floor (59617.5)     		tx = 59617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655933380126953 × 217)
    floor (0.655933380126953 × 131072)
    floor (85974.5)     		ty = 85974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59617 / 85974 ti = "17/59617/85974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59617/85974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59617 ÷ 217
    59617 ÷ 131072     		x = 0.454841613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85974 ÷ 217
    85974 ÷ 131072     		y = 0.655929565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454841613769531 × 2 - 1) × π
    -0.0903167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28373851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655929565429688 × 2 - 1) × π
    -0.311859130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.979734354434708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28373851} λ = -0.28373851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979734354434708))-π/2
    2×atan(0.375410811823983)-π/2
    2×0.35913078540823-π/2
    0.718261570816459-1.57079632675     		φ = -0.85253476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28373851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.257019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85253476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.846644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59617 KachelY 85974 -0.28373851 -0.85253476 -16.257019 -48.846644
    Oben rechts KachelX + 1 59618 KachelY 85974 -0.28369057 -0.85253476 -16.254272 -48.846644
    Unten links KachelX 59617 KachelY + 1 85975 -0.28373851 -0.85256630 -16.257019 -48.848451
    Unten rechts KachelX + 1 59618 KachelY + 1 85975 -0.28369057 -0.85256630 -16.254272 -48.848451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85253476--0.85256630) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dl = 200.941340000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85253476--0.85256630) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dr = 200.941340000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28373851--0.28369057) × cos(-0.85253476) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658076712207009 × 6371000     		do = 200.993566802694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28373851--0.28369057) × cos(-0.85256630) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658052963808665 × 6371000     		du = 200.986313430556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85253476)-sin(-0.85256630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658076712207009-0.658052963808665)×R²
    abs(-0.28369057--0.28373851)×2.37483983448472e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37483983448472e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37483983448472e-05×40589641000000     		ar = 40387.1878970724m²