Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59617 / 58666
↖ ↑ ↗
← S 80.454045°
E147.485962°		 ← 101.29 m → S 80.454045°
E147.491455°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 80.454955°
E147.485962°		 ← 101.28 m →
10 254 m²		 S 80.454955°
E147.491455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909690856933594 y=0.895179748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909690856933594 × 216)
    floor (0.909690856933594 × 65536)
    floor (59617.5)     		tx = 59617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895179748535156 × 216)
    floor (0.895179748535156 × 65536)
    floor (58666.5)     		ty = 58666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59617 / 58666 ti = "16/59617/58666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59617/58666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59617 ÷ 216
    59617 ÷ 65536     		x = 0.909683227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58666 ÷ 216
    58666 ÷ 65536     		y = 0.895172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909683227539062 × 2 - 1) × π
    0.819366455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57411564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.79034423828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48293965272043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57411564} λ = 2.57411564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48293965272043))-π/2
    2×atan(0.0834974110729449)-π/2
    2×0.0833041758434016-π/2
    0.166608351686803-1.57079632675     		φ = -1.40418798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57411564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.485962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40418798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.454045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59617 KachelY 58666 2.57411564 -1.40418798 147.485962 -80.454045
    Oben rechts KachelX + 1 59618 KachelY 58666 2.57421151 -1.40418798 147.491455 -80.454045
    Unten links KachelX 59617 KachelY + 1 58667 2.57411564 -1.40420387 147.485962 -80.454955
    Unten rechts KachelX + 1 59618 KachelY + 1 58667 2.57421151 -1.40420387 147.491455 -80.454955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40418798--1.40420387) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40418798--1.40420387) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57411564-2.57421151) × cos(-1.40418798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165838620664513 × 6371000     		do = 101.292201295551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57411564-2.57421151) × cos(-1.40420387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165822950673917 × 6371000     		du = 101.28263025694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40418798)-sin(-1.40420387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165838620664513-0.165822950673917)×R²
    abs(2.57421151-2.57411564)×1.56699905951296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56699905951296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56699905951296e-05×40589641000000     		ar = 10253.8507810258m²