Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59616 / 27295
↖ ↑ ↗
← N 71.829696°
W 16.259766°		 ← 95.24 m → N 71.829696°
W 16.257019°		 →
↑
95.25 m
↓
↑
95.25 m
↓
N 71.828840°
W 16.259766°		 ← 95.25 m →
9 072 m²		 N 71.828840°
W 16.257019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454837799072266 y=0.208248138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454837799072266 × 217)
    floor (0.454837799072266 × 131072)
    floor (59616.5)     		tx = 59616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208248138427734 × 217)
    floor (0.208248138427734 × 131072)
    floor (27295.5)     		ty = 27295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59616 / 27295 ti = "17/59616/27295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59616/27295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59616 ÷ 217
    59616 ÷ 131072     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27295 ÷ 217
    27295 ÷ 131072     		y = 0.208244323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208244323730469 × 2 - 1) × π
    0.583511352539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.83315497837057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83315497837057))-π/2
    2×atan(6.25358549445758)-π/2
    2×1.41223051209652-π/2
    2.82446102419303-1.57079632675     		φ = 1.25366470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25366470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.829696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59616 KachelY 27295 -0.28378645 1.25366470 -16.259766 71.829696
    Oben rechts KachelX + 1 59617 KachelY 27295 -0.28373851 1.25366470 -16.257019 71.829696
    Unten links KachelX 59616 KachelY + 1 27296 -0.28378645 1.25364975 -16.259766 71.828840
    Unten rechts KachelX + 1 59617 KachelY + 1 27296 -0.28373851 1.25364975 -16.257019 71.828840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25366470-1.25364975) × R
    1.49500000001801e-05 × 6371000     		dl = 95.2464500011474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25366470-1.25364975) × R
    1.49500000001801e-05 × 6371000     		dr = 95.2464500011474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28373851) × cos(1.25366470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311842508853669 × 6371000     		do = 95.2447290301363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28373851) × cos(1.25364975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311856713319223 × 6371000     		du = 95.2490674395392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25366470)-sin(1.25364975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311842508853669-0.311856713319223)×R²
    abs(-0.28373851--0.28378645)×1.42044655534468e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42044655534468e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42044655534468e-05×40589641000000     		ar = 9071.92893052904m²