Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59615 / 85300
↖ ↑ ↗
← S 47.613570°
W 16.262512°		 ← 205.85 m → S 47.613570°
W 16.259766°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
S 47.615422°
W 16.262512°		 ← 205.85 m →
42 387 m²		 S 47.615422°
W 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454830169677734 y=0.650791168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454830169677734 × 217)
    floor (0.454830169677734 × 131072)
    floor (59615.5)     		tx = 59615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650791168212891 × 217)
    floor (0.650791168212891 × 131072)
    floor (85300.5)     		ty = 85300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59615 / 85300 ti = "17/59615/85300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59615/85300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59615 ÷ 217
    59615 ÷ 131072     		x = 0.454826354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85300 ÷ 217
    85300 ÷ 131072     		y = 0.650787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454826354980469 × 2 - 1) × π
    -0.0903472900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28383438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.30157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.94742488409079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28383438} λ = -0.28383438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94742488409079))-π/2
    2×atan(0.387738209800909)-π/2
    2×0.36989138298916-π/2
    0.739782765978319-1.57079632675     		φ = -0.83101356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28383438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.262512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83101356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.613570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59615 KachelY 85300 -0.28383438 -0.83101356 -16.262512 -47.613570
    Oben rechts KachelX + 1 59616 KachelY 85300 -0.28378645 -0.83101356 -16.259766 -47.613570
    Unten links KachelX 59615 KachelY + 1 85301 -0.28383438 -0.83104588 -16.262512 -47.615422
    Unten rechts KachelX + 1 59616 KachelY + 1 85301 -0.28378645 -0.83104588 -16.259766 -47.615422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83101356--0.83104588) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dl = 205.910719999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83101356--0.83104588) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dr = 205.910719999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28383438--0.28378645) × cos(-0.83101356) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674127475827613 × 6371000     		do = 205.852934497383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28383438--0.28378645) × cos(-0.83104588) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.674103603438111 × 6371000     		du = 205.845644776064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83101356)-sin(-0.83104588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674127475827613-0.674103603438111)×R²
    abs(-0.28378645--0.28383438)×2.38723895016335e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38723895016335e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38723895016335e-05×40589641000000     		ar = 42386.5754441124m²