Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59614 / 85268
↖ ↑ ↗
← S 47.554287°
W 16.265259°		 ← 206.13 m → S 47.554287°
W 16.262512°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
S 47.556140°
W 16.265259°		 ← 206.12 m →
42 483 m²		 S 47.556140°
W 16.262512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454822540283203 y=0.650547027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454822540283203 × 217)
    floor (0.454822540283203 × 131072)
    floor (59614.5)     		tx = 59614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650547027587891 × 217)
    floor (0.650547027587891 × 131072)
    floor (85268.5)     		ty = 85268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59614 / 85268 ti = "17/59614/85268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59614/85268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59614 ÷ 217
    59614 ÷ 131072     		x = 0.454818725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85268 ÷ 217
    85268 ÷ 131072     		y = 0.650543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454818725585938 × 2 - 1) × π
    -0.090362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28388232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.30108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.945890903302948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28388232} λ = -0.28388232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945890903302948))-π/2
    2×atan(0.388333449191629)-π/2
    2×0.370408725219231-π/2
    0.740817450438461-1.57079632675     		φ = -0.82997888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28388232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.265259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82997888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.554287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59614 KachelY 85268 -0.28388232 -0.82997888 -16.265259 -47.554287
    Oben rechts KachelX + 1 59615 KachelY 85268 -0.28383438 -0.82997888 -16.262512 -47.554287
    Unten links KachelX 59614 KachelY + 1 85269 -0.28388232 -0.83001123 -16.265259 -47.556140
    Unten rechts KachelX + 1 59615 KachelY + 1 85269 -0.28383438 -0.83001123 -16.262512 -47.556140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82997888--0.83001123) × R
    3.23500000000143e-05 × 6371000     		dl = 206.101850000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82997888--0.83001123) × R
    3.23500000000143e-05 × 6371000     		dr = 206.101850000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28388232--0.28383438) × cos(-0.82997888) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674891345031308 × 6371000     		do = 206.129188475886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28388232--0.28383438) × cos(-0.83001123) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674867473059414 × 6371000     		du = 206.121897361205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82997888)-sin(-0.83001123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674891345031308-0.674867473059414)×R²
    abs(-0.28383438--0.28388232)×2.38719718936853e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38719718936853e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38719718936853e-05×40589641000000     		ar = 42482.8557314917m²