Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59613 / 85257
↖ ↑ ↗
← S 47.533892°
W 16.268006°		 ← 206.21 m → S 47.533892°
W 16.265259°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
S 47.535747°
W 16.268006°		 ← 206.20 m →
42 526 m²		 S 47.535747°
W 16.265259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454814910888672 y=0.650463104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454814910888672 × 217)
    floor (0.454814910888672 × 131072)
    floor (59613.5)     		tx = 59613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650463104248047 × 217)
    floor (0.650463104248047 × 131072)
    floor (85257.5)     		ty = 85257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59613 / 85257 ti = "17/59613/85257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59613/85257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59613 ÷ 217
    59613 ÷ 131072     		x = 0.454811096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85257 ÷ 217
    85257 ÷ 131072     		y = 0.650459289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454811096191406 × 2 - 1) × π
    -0.0903778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28393026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650459289550781 × 2 - 1) × π
    -0.300918579101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.945363597407127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28393026} λ = -0.28393026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945363597407127))-π/2
    2×atan(0.388538273706773)-π/2
    2×0.370586696931686-π/2
    0.741173393863372-1.57079632675     		φ = -0.82962293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28393026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.268006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82962293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.533892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59613 KachelY 85257 -0.28393026 -0.82962293 -16.268006 -47.533892
    Oben rechts KachelX + 1 59614 KachelY 85257 -0.28388232 -0.82962293 -16.265259 -47.533892
    Unten links KachelX 59613 KachelY + 1 85258 -0.28393026 -0.82965530 -16.268006 -47.535747
    Unten rechts KachelX + 1 59614 KachelY + 1 85258 -0.28388232 -0.82965530 -16.265259 -47.535747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82962293--0.82965530) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dl = 206.229270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82962293--0.82965530) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dr = 206.229270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28393026--0.28388232) × cos(-0.82962293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675153963869258 × 6371000     		do = 206.209399028566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28393026--0.28388232) × cos(-0.82965530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675130084916127 × 6371000     		du = 206.202105781636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82962293)-sin(-0.82965530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675153963869258-0.675130084916127)×R²
    abs(-0.28388232--0.28393026)×2.38789531308292e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38789531308292e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38789531308292e-05×40589641000000     		ar = 42525.6617919888m²