Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59613 / 27293
↖ ↑ ↗
← N 71.831409°
W 16.268006°		 ← 95.24 m → N 71.831409°
W 16.265259°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
N 71.830553°
W 16.268006°		 ← 95.24 m →
9 065 m²		 N 71.830553°
W 16.265259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454814910888672 y=0.208232879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454814910888672 × 217)
    floor (0.454814910888672 × 131072)
    floor (59613.5)     		tx = 59613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208232879638672 × 217)
    floor (0.208232879638672 × 131072)
    floor (27293.5)     		ty = 27293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59613 / 27293 ti = "17/59613/27293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59613/27293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59613 ÷ 217
    59613 ÷ 131072     		x = 0.454811096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27293 ÷ 217
    27293 ÷ 131072     		y = 0.208229064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454811096191406 × 2 - 1) × π
    -0.0903778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28393026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208229064941406 × 2 - 1) × π
    0.583541870117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.83325085216981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28393026} λ = -0.28393026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83325085216981))-π/2
    2×atan(6.25418507819953)-π/2
    2×1.41224546017883-π/2
    2.82449092035767-1.57079632675     		φ = 1.25369459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28393026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.268006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25369459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.831409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59613 KachelY 27293 -0.28393026 1.25369459 -16.268006 71.831409
    Oben rechts KachelX + 1 59614 KachelY 27293 -0.28388232 1.25369459 -16.265259 71.831409
    Unten links KachelX 59613 KachelY + 1 27294 -0.28393026 1.25367965 -16.268006 71.830553
    Unten rechts KachelX + 1 59614 KachelY + 1 27294 -0.28388232 1.25367965 -16.265259 71.830553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25369459-1.25367965) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25369459-1.25367965) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28393026--0.28388232) × cos(1.25369459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311814109214904 × 6371000     		do = 95.2360550493405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28393026--0.28388232) × cos(1.25367965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311828304318418 × 6371000     		du = 95.2403905993356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25369459)-sin(1.25367965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311814109214904-0.311828304318418)×R²
    abs(-0.28388232--0.28393026)×1.41951035140253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41951035140253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41951035140253e-05×40589641000000     		ar = 9065.03500124943m²