Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59612 / 86044
↖ ↑ ↗
← S 48.973006°
W 16.270752°		 ← 200.44 m → S 48.973006°
W 16.268006°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 48.974809°
W 16.270752°		 ← 200.44 m →
40 175 m²		 S 48.974809°
W 16.268006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454807281494141 y=0.656467437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454807281494141 × 217)
    floor (0.454807281494141 × 131072)
    floor (59612.5)     		tx = 59612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656467437744141 × 217)
    floor (0.656467437744141 × 131072)
    floor (86044.5)     		ty = 86044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59612 / 86044 ti = "17/59612/86044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59612/86044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59612 ÷ 217
    59612 ÷ 131072     		x = 0.454803466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86044 ÷ 217
    86044 ÷ 131072     		y = 0.656463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.09039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28397819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.31292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.983089937408112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28397819} λ = -0.28397819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983089937408112))-π/2
    2×atan(0.374153200884773)-π/2
    2×0.358028064441486-π/2
    0.716056128882971-1.57079632675     		φ = -0.85474020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28397819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.270752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85474020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.973006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59612 KachelY 86044 -0.28397819 -0.85474020 -16.270752 -48.973006
    Oben rechts KachelX + 1 59613 KachelY 86044 -0.28393026 -0.85474020 -16.268006 -48.973006
    Unten links KachelX 59612 KachelY + 1 86045 -0.28397819 -0.85477166 -16.270752 -48.974809
    Unten rechts KachelX + 1 59613 KachelY + 1 86045 -0.28393026 -0.85477166 -16.268006 -48.974809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85474020--0.85477166) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dl = 200.4316600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85474020--0.85477166) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dr = 200.4316600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28397819--0.28393026) × cos(-0.85474020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656414525114531 × 6371000     		do = 200.444071910582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28397819--0.28393026) × cos(-0.85477166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656390791352953 × 6371000     		du = 200.436824520967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85474020)-sin(-0.85477166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656414525114531-0.656390791352953)×R²
    abs(-0.28393026--0.28397819)×2.37337615778266e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37337615778266e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37337615778266e-05×40589641000000     		ar = 40174.6117704214m²