Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59611 / 85259
↖ ↑ ↗
← S 47.537601°
W 16.273499°		 ← 206.19 m → S 47.537601°
W 16.270752°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
S 47.539455°
W 16.273499°		 ← 206.19 m →
42 510 m²		 S 47.539455°
W 16.270752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454799652099609 y=0.650478363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454799652099609 × 217)
    floor (0.454799652099609 × 131072)
    floor (59611.5)     		tx = 59611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650478363037109 × 217)
    floor (0.650478363037109 × 131072)
    floor (85259.5)     		ty = 85259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59611 / 85259 ti = "17/59611/85259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59611/85259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59611 ÷ 217
    59611 ÷ 131072     		x = 0.454795837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85259 ÷ 217
    85259 ÷ 131072     		y = 0.650474548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454795837402344 × 2 - 1) × π
    -0.0904083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28402613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650474548339844 × 2 - 1) × π
    -0.300949096679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.945459471206368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28402613} λ = -0.28402613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945459471206368))-π/2
    2×atan(0.388501024851946)-π/2
    2×0.370554333288473-π/2
    0.741108666576946-1.57079632675     		φ = -0.82968766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28402613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.273499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82968766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.537601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59611 KachelY 85259 -0.28402613 -0.82968766 -16.273499 -47.537601
    Oben rechts KachelX + 1 59612 KachelY 85259 -0.28397819 -0.82968766 -16.270752 -47.537601
    Unten links KachelX 59611 KachelY + 1 85260 -0.28402613 -0.82972002 -16.273499 -47.539455
    Unten rechts KachelX + 1 59612 KachelY + 1 85260 -0.28397819 -0.82972002 -16.270752 -47.539455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82968766--0.82972002) × R
    3.23599999999535e-05 × 6371000     		dl = 206.165559999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82968766--0.82972002) × R
    3.23599999999535e-05 × 6371000     		dr = 206.165559999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28402613--0.28397819) × cos(-0.82968766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675106212632789 × 6371000     		do = 206.194814571832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28402613--0.28397819) × cos(-0.82972002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675082339642501 × 6371000     		du = 206.187523146107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82968766)-sin(-0.82972002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675106212632789-0.675082339642501)×R²
    abs(-0.28397819--0.28402613)×2.38729902887203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38729902887203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38729902887203e-05×40589641000000     		ar = 42509.5177985479m²