Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5961 / 6879
↖ ↑ ↗
← N 27.702984°
W 49.020996°		 ← 2 163.15 m → N 27.702984°
W 48.999023°		 →
↑
2 163.40 m
↓
↑
2 163.40 m
↓
N 27.683528°
W 49.020996°		 ← 2 163.53 m →
4 680 172 m²		 N 27.683528°
W 48.999023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363861083984375 y=0.419891357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363861083984375 × 214)
    floor (0.363861083984375 × 16384)
    floor (5961.5)     		tx = 5961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419891357421875 × 214)
    floor (0.419891357421875 × 16384)
    floor (6879.5)     		ty = 6879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5961 / 6879 ti = "14/5961/6879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5961/6879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5961 ÷ 214
    5961 ÷ 16384     		x = 0.36383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6879 ÷ 214
    6879 ÷ 16384     		y = 0.41986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.2723388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85557778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41986083984375 × 2 - 1) × π
    0.1602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.50352919360907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85557778} λ = -0.85557778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50352919360907))-π/2
    2×atan(1.65455020694404)-π/2
    2×1.02715230279676-π/2
    2.05430460559352-1.57079632675     		φ = 0.48350828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85557778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.020996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48350828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.702984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5961 KachelY 6879 -0.85557778 0.48350828 -49.020996 27.702984
    Oben rechts KachelX + 1 5962 KachelY 6879 -0.85519429 0.48350828 -48.999023 27.702984
    Unten links KachelX 5961 KachelY + 1 6880 -0.85557778 0.48316871 -49.020996 27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 5962 KachelY + 1 6880 -0.85519429 0.48316871 -48.999023 27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48350828-0.48316871) × R
    0.000339570000000011 × 6371000     		dl = 2163.40047000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48350828-0.48316871) × R
    0.000339570000000011 × 6371000     		dr = 2163.40047000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85557778--0.85519429) × cos(0.48350828) × R
    0.000383489999999931 × 0.885369416882763 × 6371000     		do = 2163.14765394125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85557778--0.85519429) × cos(0.48316871) × R
    0.000383489999999931 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 2163.5332201652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48350828)-sin(0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885369416882763-0.885527227905161)×R²
    abs(-0.85519429--0.85557778)×0.000157811022397869×R²
    0.000383489999999931×0.000157811022397869×6371000²
    0.000383489999999931×0.000157811022397869×40589641000000     		ar = 4680171.76326276m²