Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59609 / 58665
↖ ↑ ↗
← S 80.453133°
E147.442017°		 ← 101.30 m → S 80.453133°
E147.447510°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 80.454045°
E147.442017°		 ← 101.29 m →
10 268 m²		 S 80.454045°
E147.447510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909568786621094 y=0.895164489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909568786621094 × 216)
    floor (0.909568786621094 × 65536)
    floor (59609.5)     		tx = 59609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895164489746094 × 216)
    floor (0.895164489746094 × 65536)
    floor (58665.5)     		ty = 58665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59609 / 58665 ti = "16/59609/58665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59609/58665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59609 ÷ 216
    59609 ÷ 65536     		x = 0.909561157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58665 ÷ 216
    58665 ÷ 65536     		y = 0.895156860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909561157226562 × 2 - 1) × π
    0.819122314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57334865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895156860351562 × 2 - 1) × π
    -0.790313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48284377892119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57334865} λ = 2.57334865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48284377892119))-π/2
    2×atan(0.0835054166707286)-π/2
    2×0.0833121260087675-π/2
    0.166624252017535-1.57079632675     		φ = -1.40417207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57334865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.442017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40417207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.453133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59609 KachelY 58665 2.57334865 -1.40417207 147.442017 -80.453133
    Oben rechts KachelX + 1 59610 KachelY 58665 2.57344452 -1.40417207 147.447510 -80.453133
    Unten links KachelX 59609 KachelY + 1 58666 2.57334865 -1.40418798 147.442017 -80.454045
    Unten rechts KachelX + 1 59610 KachelY + 1 58666 2.57344452 -1.40418798 147.447510 -80.454045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40417207--1.40418798) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dl = 101.362609999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40417207--1.40418798) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dr = 101.362609999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57334865-2.57344452) × cos(-1.40417207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16585431033624 × 6371000     		do = 101.301784355158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57334865-2.57344452) × cos(-1.40418798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165838620664513 × 6371000     		du = 101.292201295551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40417207)-sin(-1.40418798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16585431033624-0.165838620664513)×R²
    abs(2.57344452-2.57334865)×1.56896717274091e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56896717274091e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56896717274091e-05×40589641000000     		ar = 10267.727577989m²