Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59608 / 27304
↖ ↑ ↗
← N 71.821986°
W 16.281738°		 ← 95.28 m → N 71.821986°
W 16.278991°		 →
↑
95.25 m
↓
↑
95.25 m
↓
N 71.821129°
W 16.281738°		 ← 95.29 m →
9 076 m²		 N 71.821129°
W 16.278991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454776763916016 y=0.208316802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454776763916016 × 217)
    floor (0.454776763916016 × 131072)
    floor (59608.5)     		tx = 59608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208316802978516 × 217)
    floor (0.208316802978516 × 131072)
    floor (27304.5)     		ty = 27304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59608 / 27304 ti = "17/59608/27304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59608/27304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59608 ÷ 217
    59608 ÷ 131072     		x = 0.45477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27304 ÷ 217
    27304 ÷ 131072     		y = 0.20831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28416994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20831298828125 × 2 - 1) × π
    0.5833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83272354627399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28416994} λ = -0.28416994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83272354627399))-π/2
    2×atan(6.25088807887423)-π/2
    2×1.41216322887312-π/2
    2.82432645774624-1.57079632675     		φ = 1.25353013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28416994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.281738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25353013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.821986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59608 KachelY 27304 -0.28416994 1.25353013 -16.281738 71.821986
    Oben rechts KachelX + 1 59609 KachelY 27304 -0.28412200 1.25353013 -16.278991 71.821986
    Unten links KachelX 59608 KachelY + 1 27305 -0.28416994 1.25351518 -16.281738 71.821129
    Unten rechts KachelX + 1 59609 KachelY + 1 27305 -0.28412200 1.25351518 -16.278991 71.821129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25353013-1.25351518) × R
    1.49499999999581e-05 × 6371000     		dl = 95.2464499997327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25353013-1.25351518) × R
    1.49499999999581e-05 × 6371000     		dr = 95.2464499997327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28416994--0.28412200) × cos(1.25353013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311970365535992 × 6371000     		do = 95.2837797519486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28416994--0.28412200) × cos(1.25351518) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.31198456937403 × 6371000     		du = 95.2881179696925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25353013)-sin(1.25351518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311970365535992-0.31198456937403)×R²
    abs(-0.28412200--0.28416994)×1.42038380388509e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42038380388509e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42038380388509e-05×40589641000000     		ar = 9075.6483641483m²