Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59607 / 58663
↖ ↑ ↗
← S 80.451311°
E147.431030°		 ← 101.32 m → S 80.451311°
E147.436523°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 80.452222°
E147.431030°		 ← 101.31 m →
10 263 m²		 S 80.452222°
E147.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909538269042969 y=0.895133972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909538269042969 × 216)
    floor (0.909538269042969 × 65536)
    floor (59607.5)     		tx = 59607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895133972167969 × 216)
    floor (0.895133972167969 × 65536)
    floor (58663.5)     		ty = 58663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59607 / 58663 ti = "16/59607/58663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59607/58663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59607 ÷ 216
    59607 ÷ 65536     		x = 0.909530639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58663 ÷ 216
    58663 ÷ 65536     		y = 0.895126342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909530639648438 × 2 - 1) × π
    0.819061279296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57315690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895126342773438 × 2 - 1) × π
    -0.790252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48265203132271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57315690} λ = 2.57315690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48265203132271))-π/2
    2×atan(0.0835214301690611)-π/2
    2×0.0833280285946435-π/2
    0.166656057189287-1.57079632675     		φ = -1.40414027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57315690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.431030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40414027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.451311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59607 KachelY 58663 2.57315690 -1.40414027 147.431030 -80.451311
    Oben rechts KachelX + 1 59608 KachelY 58663 2.57325277 -1.40414027 147.436523 -80.451311
    Unten links KachelX 59607 KachelY + 1 58664 2.57315690 -1.40415617 147.431030 -80.452222
    Unten rechts KachelX + 1 59608 KachelY + 1 58664 2.57325277 -1.40415617 147.436523 -80.452222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40414027--1.40415617) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40414027--1.40415617) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57315690-2.57325277) × cos(-1.40414027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165885669830844 × 6371000     		do = 101.320938350935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57315690-2.57325277) × cos(-1.40415617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165869990104509 × 6371000     		du = 101.311361365853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40414027)-sin(-1.40415617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165885669830844-0.165869990104509)×R²
    abs(2.57325277-2.57315690)×1.56797263352326e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56797263352326e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56797263352326e-05×40589641000000     		ar = 10263.2145329941m²