Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59607 / 35833
↖ ↑ ↗
← N 62.923986°
W 16.284485°		 ← 139.02 m → N 62.923986°
W 16.281738°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
N 62.922736°
W 16.284485°		 ← 139.03 m →
19 326 m²		 N 62.922736°
W 16.281738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454769134521484 y=0.273387908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454769134521484 × 217)
    floor (0.454769134521484 × 131072)
    floor (59607.5)     		tx = 59607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273387908935547 × 217)
    floor (0.273387908935547 × 131072)
    floor (35833.5)     		ty = 35833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59607 / 35833 ti = "17/59607/35833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59607/35833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59607 ÷ 217
    59607 ÷ 131072     		x = 0.454765319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35833 ÷ 217
    35833 ÷ 131072     		y = 0.273384094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454765319824219 × 2 - 1) × π
    -0.0904693603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28421788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273384094238281 × 2 - 1) × π
    0.453231811523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.42386972941453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28421788} λ = -0.28421788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42386972941453))-π/2
    2×atan(4.15316099319324)-π/2
    2×1.33451352630133-π/2
    2.66902705260266-1.57079632675     		φ = 1.09823073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28421788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.284485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09823073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.923986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59607 KachelY 35833 -0.28421788 1.09823073 -16.284485 62.923986
    Oben rechts KachelX + 1 59608 KachelY 35833 -0.28416994 1.09823073 -16.281738 62.923986
    Unten links KachelX 59607 KachelY + 1 35834 -0.28421788 1.09820891 -16.284485 62.922736
    Unten rechts KachelX + 1 59608 KachelY + 1 35834 -0.28416994 1.09820891 -16.281738 62.922736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09823073-1.09820891) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dl = 139.015219999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09823073-1.09820891) × R
    2.18199999999502e-05 × 6371000     		dr = 139.015219999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28421788--0.28416994) × cos(1.09823073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455172197099385 × 6371000     		do = 139.021305126414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28421788--0.28416994) × cos(1.09820891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455191625593904 × 6371000     		du = 139.02723908873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09823073)-sin(1.09820891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455172197099385-0.455191625593904)×R²
    abs(-0.28416994--0.28421788)×1.94284945191359e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94284945191359e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94284945191359e-05×40589641000000     		ar = 19326.4897731755m²