Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59605 / 58547
↖ ↑ ↗
← S 80.345026°
E147.420044°		 ← 102.44 m → S 80.345026°
E147.425537°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
S 80.345947°
E147.420044°		 ← 102.43 m →
10 494 m²		 S 80.345947°
E147.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909507751464844 y=0.893363952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909507751464844 × 216)
    floor (0.909507751464844 × 65536)
    floor (59605.5)     		tx = 59605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893363952636719 × 216)
    floor (0.893363952636719 × 65536)
    floor (58547.5)     		ty = 58547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59605 / 58547 ti = "16/59605/58547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59605/58547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59605 ÷ 216
    59605 ÷ 65536     		x = 0.909500122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58547 ÷ 216
    58547 ÷ 65536     		y = 0.893356323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909500122070312 × 2 - 1) × π
    0.819000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57296515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893356323242188 × 2 - 1) × π
    -0.786712646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47153067061086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57296515} λ = 2.57296515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47153067061086))-π/2
    2×atan(0.0844554864823836)-π/2
    2×0.0842555421054148-π/2
    0.16851108421083-1.57079632675     		φ = -1.40228524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57296515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.420044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40228524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.345026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59605 KachelY 58547 2.57296515 -1.40228524 147.420044 -80.345026
    Oben rechts KachelX + 1 59606 KachelY 58547 2.57306102 -1.40228524 147.425537 -80.345026
    Unten links KachelX 59605 KachelY + 1 58548 2.57296515 -1.40230132 147.420044 -80.345947
    Unten rechts KachelX + 1 59606 KachelY + 1 58548 2.57306102 -1.40230132 147.425537 -80.345947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40228524--1.40230132) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dl = 102.445679999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40228524--1.40230132) × R
    1.60799999999739e-05 × 6371000     		dr = 102.445679999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57296515-2.57306102) × cos(-1.40228524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167714711908014 × 6371000     		do = 102.438094882486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57296515-2.57306102) × cos(-1.40230132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167698859650331 × 6371000     		du = 102.428412517366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40228524)-sin(-1.40230132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167714711908014-0.167698859650331)×R²
    abs(2.57306102-2.57296515)×1.58522576829134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58522576829134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58522576829134e-05×40589641000000     		ar = 10493.844330319m²